Une échelle de comparaison quand x tend vers 0
Si r > s, x
r /x
s = x
r−s tend vers 0 quand x tend vers 0, donc x
r est infiniment petit
devant x
s . Nous avons montré que x
r ln x tend toujours vers 0 quand x tend vers
0, donc x
r est infiniment petit devant 1/ ln x. On en déduit une échelle d’infiniments
petits quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Quand x → 0 : · · · · x
3
x
2
x x
1/2
x
1/3
· · · · x
1/n
1
ln x
1
En prenant les inverses, on obtient une échelle d’infiniments grands, c’est-à-dire de
quantités tendant vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Quand x → 0 : 1 | ln x| | 1
x
1/n
· · · · 1
√
x
1
x
1
x
2
1
x
3
· · ·
Exemple. Quel est l’ordre de grandeur de [x
3
−9x + 10]
1/2 quand x tend vers 2 ?
On a x
3
−9x+10=(x−2)(x
2 +2x−5) et lim
x→2
(x
2 +2x−5)=3, donc (x
3
−9x+10) ∼
x→2
3(x−2).
On en déduit
x
3
−9x + 10
1/2 ∼
x→2
x>2
√
3
√
x−2.
Définition
Soit f une fonction. Si l’on a f (x) ∼
x→a
u(x−a), où u une fonction de comparaison
en 0, ou un produit de telles fonctions, on dit que u(x−a) est la partie principale
de f (x) quand x tend vers a. De même, si f (x) ∼
x→+∞
v(x), alors v(x) est la
partie principale de f (x) quand x tend vers +∞.
Croissance exponentielle et factorielle pour les suites
Soit a un nombre réel tel que a > 1.
® a
n tend vers +∞ quand n tend vers +∞ et pour tout nombre α, on a a
n
n→+∞
n
α .
En effet, puisque ln a > 0, a
n = e
n ln a est infiniment grand devant toute puissance de
n, quand n tend vers +∞.
Nous allons montrer n! est infiniment grand devant a
n quand n tend vers +∞ et
donner un équivalent utile de n! .
® Pour tout nombre a > 1, on a n!
n→+∞
a
n
® formule de Stirling : n! ∼
n→+∞
n
n e
−n
√
2πn
Choisissons un entier N > 2a. Pour tout entier n = N + p, on a
a
n
n!
= a
N
N !
a
N + 1
a
N + 2
· · · a
N + p
.
Chacun des rapports
a
N + i
est inférieur à a
N
< 1
2
, donc a
n
n!
< a
N
N !
1
2
p . Quand n tend
vers l’infini, p aussi, donc 1/2
p tend vers 0 et a
n /n! également.
270 – LA D ´
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