x
y
1
sh
ch
graphe du
cosinus hyperbolique
ch
x
1
1
sh
y
graphe du
sinus hyperbolique
Fonctions puissances généralisées
Si n est un entier, on a x
n = exp(n ln x) pour tout x > 0. L’expression exp(n ln x)
a encore un sens si l’on remplace l’entier n par n’importe quel nombre réel α : cela
permet de formuler la définition suivante de la puissance α-ième d’un nombre x > 0.
Définition
Soit α un nombre réel. Pour tout x > 0, on pose x
α = exp(α ln x). La fonction
x → x
α s’appelle une fonction puissance.
Comme avec des exposants entiers, on a les règles de calcul :
pour x > 0 et y > 0, (xy)
α = x
α y
α , x
α+β = x
α x
β , (x
α )
β = x
αβ et x
0 = 1.
Voici une propriété utile dont la vérification est immédiate.
Si u(x) et v(x) sont positifs et si u(x) ∼
x→a
v(x), alors
u(x)
α ∼
x→a
v(x)
α .
2.4 Échelles de comparaison
Une échelle de comparaison quand x tend vers +∞
On a toujours x
r /x
s = x
r−s ; si r < s, l’exposant r−s est négatif, donc x
r /x
s tend
vers 0 quand x tend vers l’infini :
si r < s, alors x
r
x→+∞
x
s .
Puisqu’on a x
r
x→+∞
e
x et lnx
x→+∞
x
r pour r >0, on en déduit le classement suivant.
Quand x → + ∞ : ln x x
1/n
· · · · x
1/2
x x
2
· · · · x
n
e
x
Toutes ces quantités sont infiniment grandes quand x tend vers +∞, mais chacune
est infiniment petite devant la suivante.
En prenant les inverses, on obtient une échelle d’infiniments petits, c’est-à-dire de
quantités tendant vers 0 quand x tend vers +∞.
Quand x → + ∞ : e
−x
1
x
n · · · · 1
x
2
1
x
1
√
x
· · · · 1
n
√
x
1
ln x
1
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 269