La dernière propriété reste vraie si on élève ln x ou x à des puissances positives :
si p et r sont des exposants positifs, alors (ln x)
p
x→+∞
x
r et x
r (ln x)
p
x→0 +
1
En effet, u(x) = ln x
x
r/p
=
p
r
ln(x
r/p )
x
r/p
=
p
r
ln y
y , où y = x
r/p tend vers l’infini avec x ;
puisque
ln y
y tend vers 0, u(x) aussi. Quand x tend vers 0 par valeurs positives,
z = 1/x tend vers +∞, donc (ln z)
p /z
r tend vers 0 d’après ce qu’on vient de montrer ;
comme on a ln z = | ln x|, il vient (ln z)
p /z
r = x
r
| ln x|
p , donc lim
x→0
x
r (ln x)
p
= 0.
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée x → expx ou x → e
x , est définie sur R. C’est la bijection réciproque du logarithme, donc on a ln(exp x) = x pour tout x et exp(ln x) = x
pour tout x > 0. La fonction exponentielle est croissante et non majorée, donc
lim
x→+∞
e
x = +∞. Puisque e
−x = 1/e
x , on en déduit lim
x→−∞
e
x = 0.
Propriétés de l'exponentielle. On les montre en prenant le logarithme.
a) e
0 = 1 , (e
x > 1 ⇐⇒ x > 0) , (0 < e
x < 1 ⇐⇒ x < 0).
b) e
x+y = e
x e
y , e
nx = (e
x )
n et e
x/n = (e
x )
1/n .
c) exp
(x) = exp x.
d) Pour tout r > 0, on a lim
x→+∞
(e
x /x
r ) = +∞ et lim
x→−∞
|x|
r e
x
= 0.
On en déduit que pour tout entier n, on a x
n
x→+∞
e
x et e
−x
x→+∞
1/x
n .
x
y
1
1
e
ln x
x
y
1
1
e
e
x
Fonctions hyperboliques
On pose : ch x =
e
x + e
−x
2
: c’est la fonction cosinus hyperbolique,
sh x =
e
x −e
−x
2
: c’est la fonction sinus hyperbolique.
® La fonction ch est paire et la fonction sh est impaire.
® On a (ch x)
2
− (sh x)
2 = 1 , ch
x = sh x et sh
x = ch x pour tout x.
268 – ORDRES DE GRANDEUR