® On a x
x→+∞
x
2 et
√
x
x→+∞
x.
En effet, x/x
2 = 1/x et
√
x/x = 1/
√
x tendent vers 0 quand x tend vers +∞.
Proposition. Soit une fonction polynôme P (x) = a p x
p + a p+1 x
p+1 + · · · + a n x
n , avec
p n, a p = 0 et a n = 0. Alors on a P (x) ∼
x→0
a p x
p et P (x) ∼
x→±∞
a n x
n .
2.3 Fonctions usuelles
Les fonctions puissances
Soit n un entier strictement positif.
® La fonction puissance x → x
n est définie sur R et l’on a lim
x→0
x
n = 0, lim
x→+∞
x
n = +∞.
® Rappelons que si x = 0, on pose x
−n = 1/x
n : la fonction x → x
−n est définie sur
R \ {0}. On a lim
x→0 +
(x
−n ) = +∞ et lim
x→+∞
(x
−n ) = 0.
Les fonctions racines
La fonction racine n-ième, notée x →
n
√
x ou x → x
1/n , est définie sur [0, +∞[. Par
définition, on a les relations (
n
√
x)
n = x =
n
√
x n , ce qui veut dire que les fonctions
x →
n
√
x et x → x
n sont des bijections réciproques sur [0, +∞[.
Les limites aux bornes de l’intervalle sont lim
x→0 +
n
√
x = 0 et lim
x→+∞
n
√
x = +∞.
x
2
x
4
x
x
y
1
1
x
x
3
x
5
x
y
1
1
x
1/2
x
x
1
1
1
/3
x
1/3
x
y
La fonction logarithme
La fonction logarithme, notée x → ln x, est définie sur ]0, +∞[. Elle est croissante
et non majorée, donc lim
x→+∞
ln x = +∞. Quand x tend vers 0 par valeurs positives,
1/x tend vers l’infini, donc ln x = − ln(1/x) tend vers −∞.
Propriétés du logarithme
a) ln 1 = 0 , (ln x > 0 ⇐⇒ x > 1) , (ln x < 0 ⇐⇒ 0 < x < 1), ln e = 1.
b) ln(xy) = ln x + ln y , ln(x
n ) = n ln x et ln(x
1/n ) = (1/n) ln x.
c) ln
(x) = 1/x.
d) lim
x→+∞
ln x
x
= 0 et lim
x→0 +
(x ln x) = 0.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 267