Propriétés de ces relations
1) u(x)
x→a
1 si et seulement si u(x) tend vers 0 quand x tend vers a.
2) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x) a une limite (éventuellement infinie) quand x tend vers a,
alors u(x) a la même limite.
3) Si est un nombre non nul, alors u(x) ∼
x→a
si et seulement si u(x) tend vers quand
x tend vers a.
4) Si u(x) ∼
x→a
v(x), alors u(x) et v(x) ont le même signe pour x assez proche de a.
5) u(x) ∼
x→a
v(x) si et seulement si
u(x)−v(x)
x→a
v(x).
6) Si u(x)
x→a
v(x) et si v(x)
x→a
w(x), alors u(x)
x→a
w(x).
7) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x) ∼
x→a
w(x), alors u(x) ∼
x→a
w(x).
Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x)
x→a
w(x), alors u(x)
x→a
w(x)
8) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si w(x) ∼
x→a
h(x), alors u(x)w(x) ∼
x→a
v(x)h(x).
Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si w(x)
x→a
h(x), alors u(x)w(x)
x→a
v(x)h(x).
Démonstration. La propriété u(x)
x→a
1 veut dire que u(x)=
u(x)
1
tend vers 0 quand x tend
vers a. Supposons u(x) ∼
x→a
v(x). On a u(x)=
u(x)
v(x)
v(x) et lim
x→a
u(x)
v(x)
=1, donc u(x) et v(x) ont la
même limite, ce qui montre (2). La propriété (3) vient de ce que si =0, u(x) tend vers si et seulement si
u(x)
tend vers 1. Si u(x) et v(x) sont équivalents quand x tend vers a, u(x)/v(x) tend
vers 1 ; alors pour x assez proche de a, le rapport u(x)/v(x) est positif, donc u(x) et v(x) sont
de même signe. Montrons (5) : puisque
u(x) − v(x)
v(x)
=
u(x)
v(x)
−1, le rapport
u(x)
v(x)
tend vers 1 si et
seulement si
u(x) − v(x)
v(x)
tend vers 0. La propriété (6) affirme simplement que si chacun des rapports
u(x)
v(x)
et
v(x)
w(x)
tend vers 0, leur produit
u(x)
w(x)
tend vers 0. Les quatre dernières propriétés
se démontrent de même en utilisant que la limite d’un produit est égale au produit des limites.
Exemples
® On a (tan x− sin x)
x→0
x
2 et (tan x− sin x) ∼
x→0
(1/2)x
3 .
®
tan x−(sin x)
2
∼
x→0
x.
® Puisque x
3
x→0
x
2 , la propriété (5) montre que x
2 + x
3
∼
x→0
x
2 .
De même, x
2 + (tan x− sin x) ∼
x→0
x
2 , car tan x− sin x est infiniment petit devant x
2 .
® On sait que sin x
x
et tan x
x
tendent vers 1 quand x tend vers 0, donc sin x ∼
x→0
x
et tan x ∼
x→0
x. Cependant, la différence tan x − sin x, infiniment petite devant x,
n’est pas équivalente à x.
266 – ORDRES DE GRANDEUR
1) u(x)
x→a
1 si et seulement si u(x) tend vers 0 quand x tend vers a.
2) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x) a une limite (éventuellement infinie) quand x tend vers a,
alors u(x) a la même limite.
3) Si est un nombre non nul, alors u(x) ∼
x→a
si et seulement si u(x) tend vers quand
x tend vers a.
4) Si u(x) ∼
x→a
v(x), alors u(x) et v(x) ont le même signe pour x assez proche de a.
5) u(x) ∼
x→a
v(x) si et seulement si
u(x)−v(x)
x→a
v(x).
6) Si u(x)
x→a
v(x) et si v(x)
x→a
w(x), alors u(x)
x→a
w(x).
7) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x) ∼
x→a
w(x), alors u(x) ∼
x→a
w(x).
Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si v(x)
x→a
w(x), alors u(x)
x→a
w(x)
8) Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si w(x) ∼
x→a
h(x), alors u(x)w(x) ∼
x→a
v(x)h(x).
Si u(x) ∼
x→a
v(x) et si w(x)
x→a
h(x), alors u(x)w(x)
x→a
v(x)h(x).
Démonstration. La propriété u(x)
x→a
1 veut dire que u(x)=
u(x)
1
tend vers 0 quand x tend
vers a. Supposons u(x) ∼
x→a
v(x). On a u(x)=
u(x)
v(x)
v(x) et lim
x→a
u(x)
v(x)
=1, donc u(x) et v(x) ont la
même limite, ce qui montre (2). La propriété (3) vient de ce que si =0, u(x) tend vers si et seulement si
u(x)
tend vers 1. Si u(x) et v(x) sont équivalents quand x tend vers a, u(x)/v(x) tend
vers 1 ; alors pour x assez proche de a, le rapport u(x)/v(x) est positif, donc u(x) et v(x) sont
de même signe. Montrons (5) : puisque
u(x) − v(x)
v(x)
=
u(x)
v(x)
−1, le rapport
u(x)
v(x)
tend vers 1 si et
seulement si
u(x) − v(x)
v(x)
tend vers 0. La propriété (6) affirme simplement que si chacun des rapports
u(x)
v(x)
et
v(x)
w(x)
tend vers 0, leur produit
u(x)
w(x)
tend vers 0. Les quatre dernières propriétés
se démontrent de même en utilisant que la limite d’un produit est égale au produit des limites.
Exemples
® On a (tan x− sin x)
x→0
x
2 et (tan x− sin x) ∼
x→0
(1/2)x
3 .
®
tan x−(sin x)
2
∼
x→0
x.
® Puisque x
3
x→0
x
2 , la propriété (5) montre que x
2 + x
3
∼
x→0
x
2 .
De même, x
2 + (tan x− sin x) ∼
x→0
x
2 , car tan x− sin x est infiniment petit devant x
2 .
® On sait que sin x
x
et tan x
x
tendent vers 1 quand x tend vers 0, donc sin x ∼
x→0
x
et tan x ∼
x→0
x. Cependant, la différence tan x − sin x, infiniment petite devant x,
n’est pas équivalente à x.
266 – ORDRES DE GRANDEUR