x
3 pour de petites valeurs de x, formons les rapports
f (x)
x
,
f (x)
x
2
,
f (x)
x
3
et calculons
leurs valeurs pour x = 10
−1 , 10
−2 , 10
−3 , 10
−4 avec une précision relative de 1/1000.
x
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
f (x)
x
5,01.10
−3
5.10
−5
5.10
−7
5.10
−9
f (x)
x
2
5,01.10
−2
5.10
−3
5.10
−4
5.10
−5
f (x)
x
3
0,501
0,5
0,5
0,5
f (x)
x
4
5,01
50
500
5000
Les deux premières lignes du tableau montrent que pour x petit, f (x) est négligeable
devant x et devant x
2 ; la troisième ligne indique que
f (x)
x
3
semble tendre vers 1/2 :
cela veut dire que pour x assez petit, f (x) est de l’ordre de grandeur de (1/2)x
3 :
on dit que les quantités f (x) et (1/2)x
3 sont des infiniments petits équivalents.
Faisons des calculs analogues pour la différence g(x) = tan x − (sin x)
2 qui tend aussi
vers 0 quand x tend vers 0.
x
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
g(x)
x
0,903
0,990
0,999 0,9999
g(x)
x
2
9,03
99,0
999
9999
Cette fois,
g(x)
x
semble tendre vers 1, donc g(x) est de l’ordre de x quand x tend
vers 0 : on dit que g(x) est un infiniment petit équivalent à x.
2.2 Infiniments petits, infiniments grands
Soient u et v des fonctions définies sur un même intervalle I et soit a un nombre
appartenant à I ou bien une extrémité de I (éventuellement +∞ ou −∞)
Définitions
® Si
u(x)
v(x)
tend vers 0 quand x tend vers a, on dit que u(x) est infiniment petit, ou négligeable, devant devant v(x) quand x tend vers a, ce que l’on note u(x)
x→a
v(x).
On dit aussi que v(x) est infiniment grand devant u(x), ce qui se note v(x)
x→a
u(x).
® Si
u(x)
v(x)
tend vers 1 quand x tend vers a, on dit que u(x) et v(x) sont équivalents
quand x tend vers a, ce qui se note u(x) ∼
x→a
v(x).
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 265