On en déduit que P n tend vers la pression limite
v + u
u
P 0 , valeur d’autant plus
grande que le volume u du raccord est petit.
1.2 Limite d'une fonction
On a les mêmes propriétés que pour les suites. Rappelons qu’une fonction f à valeurs réelles est majorée s’il existe un nombre M tel que f (x) M pour tout x. Une
fonction f est minorée s’il existe un nombre m tel que f (x) m pour tout x.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ ; a et b sont des nombres ou bien
l’un des symboles −∞ ou +∞.
– Si f est croissante et majorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers b ;
si f est croissante et non majorée, alors lim
x→b
f (x) = +∞.
– Si f est croissante et minorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers a ;
si f est croissante et non minorée, alors lim
x→a
f (x) = −∞.
Une fonction décroissante minorée a une limite finie quand x tend vers b ; si f est
décroissante non minorée, alors f (x) tend vers −∞ quand x tend vers b.
Voici les propriétés générales du calcul des limites ; nous les formulons pour les
fonctions, mais elles sont valables aussi bien pour des suites de nombres. x 0 désigne
un nombre ou bien l’un des symboles +∞ ou −∞.
Supposons que f (x) et g(x) ont une limite finie quand x tend vers x 0 .
® lim
x→x 0
f (x) + g(x)
= lim
x→x 0
f (x)+ lim
x→x 0
g(x) et lim
x→x 0
f (x)g(x)
=
lim
x→x 0
f (x)
lim
x→x 0
g(x)
® Si lim
x→x 0
g(x) = 0, alors lim
x→x 0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x 0
f (x)
lim
x→x 0
g(x)
.
® Si f (x) tend vers +∞ ou vers −∞ quand x tend vers x 0 , alors lim
x→x 0
1
f (x)
= 0.
2. Ordres de grandeur
On a souvent besoin de comparer les ordres de grandeur de deux quantités qui
tendent simultanément vers 0 ou vers l’infini. Dans ce but, nous allons définir la
notion de quantité négligeable devant une autre et de quantités équivalentes.
Chacune des fonctions x, x
2 ou x
n tend vers 0 quand x tend vers 0, mais avec des
ordres de grandeur différents : par exemple, pour x proche de 0, x
n+1 est très petit
devant x
n puisque x
n+1 /x
n =x tend vers 0. Ces fonctions puissances servent d’échelle
de comparaison pour mesurer l’ordre de grandeur d’une quantité qui tend vers 0.
2.1 Exemples
Posons f (x) = tan x − sin x. Puisque sin x et tan x tendent vers 0 quand x tend vers
0, il en va de même de leur différence f (x). Pour comparer f (x) aux quantités x, x
2 ,
264 – ORDRES DE GRANDEUR
v + u
u
P 0 , valeur d’autant plus
grande que le volume u du raccord est petit.
1.2 Limite d'une fonction
On a les mêmes propriétés que pour les suites. Rappelons qu’une fonction f à valeurs réelles est majorée s’il existe un nombre M tel que f (x) M pour tout x. Une
fonction f est minorée s’il existe un nombre m tel que f (x) m pour tout x.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ ; a et b sont des nombres ou bien
l’un des symboles −∞ ou +∞.
– Si f est croissante et majorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers b ;
si f est croissante et non majorée, alors lim
x→b
f (x) = +∞.
– Si f est croissante et minorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers a ;
si f est croissante et non minorée, alors lim
x→a
f (x) = −∞.
Une fonction décroissante minorée a une limite finie quand x tend vers b ; si f est
décroissante non minorée, alors f (x) tend vers −∞ quand x tend vers b.
Voici les propriétés générales du calcul des limites ; nous les formulons pour les
fonctions, mais elles sont valables aussi bien pour des suites de nombres. x 0 désigne
un nombre ou bien l’un des symboles +∞ ou −∞.
Supposons que f (x) et g(x) ont une limite finie quand x tend vers x 0 .
® lim
x→x 0
f (x) + g(x)
= lim
x→x 0
f (x)+ lim
x→x 0
g(x) et lim
x→x 0
f (x)g(x)
=
lim
x→x 0
f (x)
lim
x→x 0
g(x)
® Si lim
x→x 0
g(x) = 0, alors lim
x→x 0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x 0
f (x)
lim
x→x 0
g(x)
.
® Si f (x) tend vers +∞ ou vers −∞ quand x tend vers x 0 , alors lim
x→x 0
1
f (x)
= 0.
2. Ordres de grandeur
On a souvent besoin de comparer les ordres de grandeur de deux quantités qui
tendent simultanément vers 0 ou vers l’infini. Dans ce but, nous allons définir la
notion de quantité négligeable devant une autre et de quantités équivalentes.
Chacune des fonctions x, x
2 ou x
n tend vers 0 quand x tend vers 0, mais avec des
ordres de grandeur différents : par exemple, pour x proche de 0, x
n+1 est très petit
devant x
n puisque x
n+1 /x
n =x tend vers 0. Ces fonctions puissances servent d’échelle
de comparaison pour mesurer l’ordre de grandeur d’une quantité qui tend vers 0.
2.1 Exemples
Posons f (x) = tan x − sin x. Puisque sin x et tan x tendent vers 0 quand x tend vers
0, il en va de même de leur différence f (x). Pour comparer f (x) aux quantités x, x
2 ,
264 – ORDRES DE GRANDEUR