Définition
Si les hypothèses (a) et (b) sont vérifiées, on dit que f est contractante au voisinage
du point fixe A. Le nombre k < 1 s’appelle le coefficient de contraction.
Si la valeur initiale u 0 de la suite est l’abscisse d’un point du cône, alors le point
M 0 = (u 0 , u 1 ) est dans le cône, donc aussi le point M 1 = (u 1 , u 2 ) et de proche en
proche, tous les points M n = (u n , u n+1 ) sont dans le cône. On a donc
|u n+1 − p| k|u n − p|, pour tout n 0
Il s’ensuit
(∗)
|u n − p| k|u n−1 − p| k
2
|u n−2 − p| · · · k
n
|u 0 − p|
Puisqu’on a supposé 0 < k < 1, k
n tend vers 0 quand n tend vers l’infini, donc
|u n − p| tend vers 0, autrement dit u n tend vers p.
Si f est contractante au voisinage du point fixe p et si u 0 est assez proche
de p, alors la suite définie par u n+1 = f (u n ) a pour limite p.
On dit que le point fixe p est attractif. Les inégalités (∗) montrent que la convergence
est d’autant plus rapide que le coefficient de contraction k est plus petit.
Exemple. Une pompe de volume v permet d’envoyer de l’air dans une enceinte de
volume V par un tuyau d’alimentation de petit volume u. On suppose que la compression est isotherme. Quelle est la pression dans l’enceinte après n coups de pompe ?
v
V
u
P 0
La pompe est à la pression extérieure P 0 qui est aussi la pression initiale dans l’enceinte. Supposons qu’on a obtenu une
pression P dans l’enceinte et donnons un coup de pompe. La
valve s’ouvre lorsque la pompe exerce une pression P , le volume d’air dans celle-ci étant passé de v à une valeur v 1 < v.
Le produit de la pression par le volume est constant, donc
P 0 (v + u) = P (v 1 + u). Quand le piston arrive en fin de course,
le volume v 1 +u+V a été comprimé en u+V et la pression
dans l’enceinte et le tuyau prend la valeur P
telle que P (v 1 + u + V ) = P
(V + u).
Ainsi on a P
(V + u) = P (v 1 + u) + P V = P 0 (v + u) + P V . En notant P n la pression
dans l’enceinte après n coups de pompe, il vient la relation
P n+1 = V
V + u
P n +
v + u
V + u
P 0
® La fonction affine f : x → V
V + u
x +
v + u
V + u
P 0 a un point fixe p :
p = V
V + u
p +
v + u
V + u
P 0 , d’où p =
v + u
u
P 0 .
® Le graphe de f est la droite de pente k = V
V + u
< 1 passant par le point (p, p) :
l’hypothèse (b) est donc satisfaite.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 263
Si les hypothèses (a) et (b) sont vérifiées, on dit que f est contractante au voisinage
du point fixe A. Le nombre k < 1 s’appelle le coefficient de contraction.
Si la valeur initiale u 0 de la suite est l’abscisse d’un point du cône, alors le point
M 0 = (u 0 , u 1 ) est dans le cône, donc aussi le point M 1 = (u 1 , u 2 ) et de proche en
proche, tous les points M n = (u n , u n+1 ) sont dans le cône. On a donc
|u n+1 − p| k|u n − p|, pour tout n 0
Il s’ensuit
(∗)
|u n − p| k|u n−1 − p| k
2
|u n−2 − p| · · · k
n
|u 0 − p|
Puisqu’on a supposé 0 < k < 1, k
n tend vers 0 quand n tend vers l’infini, donc
|u n − p| tend vers 0, autrement dit u n tend vers p.
Si f est contractante au voisinage du point fixe p et si u 0 est assez proche
de p, alors la suite définie par u n+1 = f (u n ) a pour limite p.
On dit que le point fixe p est attractif. Les inégalités (∗) montrent que la convergence
est d’autant plus rapide que le coefficient de contraction k est plus petit.
Exemple. Une pompe de volume v permet d’envoyer de l’air dans une enceinte de
volume V par un tuyau d’alimentation de petit volume u. On suppose que la compression est isotherme. Quelle est la pression dans l’enceinte après n coups de pompe ?
v
V
u
P 0
La pompe est à la pression extérieure P 0 qui est aussi la pression initiale dans l’enceinte. Supposons qu’on a obtenu une
pression P dans l’enceinte et donnons un coup de pompe. La
valve s’ouvre lorsque la pompe exerce une pression P , le volume d’air dans celle-ci étant passé de v à une valeur v 1 < v.
Le produit de la pression par le volume est constant, donc
P 0 (v + u) = P (v 1 + u). Quand le piston arrive en fin de course,
le volume v 1 +u+V a été comprimé en u+V et la pression
dans l’enceinte et le tuyau prend la valeur P
telle que P (v 1 + u + V ) = P
(V + u).
Ainsi on a P
(V + u) = P (v 1 + u) + P V = P 0 (v + u) + P V . En notant P n la pression
dans l’enceinte après n coups de pompe, il vient la relation
P n+1 = V
V + u
P n +
v + u
V + u
P 0
® La fonction affine f : x → V
V + u
x +
v + u
V + u
P 0 a un point fixe p :
p = V
V + u
p +
v + u
V + u
P 0 , d’où p =
v + u
u
P 0 .
® Le graphe de f est la droite de pente k = V
V + u
< 1 passant par le point (p, p) :
l’hypothèse (b) est donc satisfaite.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
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