Dans ce cas, la suite (a n ) est majorée par b 0 , la suite (b n ) est minorée par a 0 , donc la
suite (a n ) a une limite et la suite (b n ) a une limite
; d’après les théorèmes sur les
limites, la suite (b n − a n ) a pour limite
− et comme par hypothèse b n − a n tend
vers 0, on en déduit =
; la suite (a n ) étant croissante, est supérieur ou égal à
tous les a n et de même,
est inférieur ou égal à tous les b p .
Des suites adjacentes (a n ) et (b n ) ont la même
limite et l’on a a n b p pour tous n et p.
Puisque l’écart entre a n et b n tend vers 0, ces nombres permettent d’encadrer la
limite avec la précision qu’on veut.
Suites itératives
Nous avons déjà rencontré des suites (u n ) formées des itérés d’un nombre initial u 0
par une transformation f : on a par définition
u n+1 = f (u n ), pour tout n 0.
Faisons deux hypothèses sur la fonction f .
Hypothèse (a) : f a un point fixe p, c’est-à-dire tel que f (p) = p.
Pour visualiser le comportement des u n , on peut procéder comme page 15 : sur un
même dessin, représentons le graphe de y=f (x) et la droite d’équation y=x ; ces deux
graphes se coupent donc au point A = (p, p). Construisons une ligne brisée comme
ci-dessous, en joignant successivement les points (u 0 ,u 1 ), (u 1 ,u 1 ), (u 1 ,u 2 ), (u 2 ,u 2 ), etc :
y
y =
x
x
y =
f ( x )
u 0
u 1
u 1
u
p
p 2
figure 1
y
y =
x
x
y = f ( x )
u 0
u 1
u 1
u
p
p 2
figure 2
Hypothèse (b) :
y
A
y =
x
x
y = f ( x )
p
p
y =
k x
y =
k x
−
figure 3
Au voisinage du point A, le graphe
de f reste dans le cône (partie grisée de la figure 3)
formé de deux droites sécantes en A de pente ±k,
où k est un nombre tel que 0 < k < 1.
Si M = (x, y) est un point du cône, la pente du segment AM est comprise entre −k et k, autrement dit
|y − p| k|x − p|.
Si x est l’abscisse d’un point du cône, alors le point
x, f (x)
est dans le cône et donc
f (x) − p
k|x − p|.
Puisque k < 1, il en résulte que f (x) est plus proche
de p que x ; en particulier, f (x) est aussi l’abscisse d’un point du cône.
262 – RAPPELS SUR LES LIMITES
suite (a n ) a une limite et la suite (b n ) a une limite
; d’après les théorèmes sur les
limites, la suite (b n − a n ) a pour limite
− et comme par hypothèse b n − a n tend
vers 0, on en déduit =
; la suite (a n ) étant croissante, est supérieur ou égal à
tous les a n et de même,
est inférieur ou égal à tous les b p .
Des suites adjacentes (a n ) et (b n ) ont la même
limite et l’on a a n b p pour tous n et p.
Puisque l’écart entre a n et b n tend vers 0, ces nombres permettent d’encadrer la
limite avec la précision qu’on veut.
Suites itératives
Nous avons déjà rencontré des suites (u n ) formées des itérés d’un nombre initial u 0
par une transformation f : on a par définition
u n+1 = f (u n ), pour tout n 0.
Faisons deux hypothèses sur la fonction f .
Hypothèse (a) : f a un point fixe p, c’est-à-dire tel que f (p) = p.
Pour visualiser le comportement des u n , on peut procéder comme page 15 : sur un
même dessin, représentons le graphe de y=f (x) et la droite d’équation y=x ; ces deux
graphes se coupent donc au point A = (p, p). Construisons une ligne brisée comme
ci-dessous, en joignant successivement les points (u 0 ,u 1 ), (u 1 ,u 1 ), (u 1 ,u 2 ), (u 2 ,u 2 ), etc :
y
y =
x
x
y =
f ( x )
u 0
u 1
u 1
u
p
p 2
figure 1
y
y =
x
x
y = f ( x )
u 0
u 1
u 1
u
p
p 2
figure 2
Hypothèse (b) :
y
A
y =
x
x
y = f ( x )
p
p
y =
k x
y =
k x
−
figure 3
Au voisinage du point A, le graphe
de f reste dans le cône (partie grisée de la figure 3)
formé de deux droites sécantes en A de pente ±k,
où k est un nombre tel que 0 < k < 1.
Si M = (x, y) est un point du cône, la pente du segment AM est comprise entre −k et k, autrement dit
|y − p| k|x − p|.
Si x est l’abscisse d’un point du cône, alors le point
x, f (x)
est dans le cône et donc
f (x) − p
k|x − p|.
Puisque k < 1, il en résulte que f (x) est plus proche
de p que x ; en particulier, f (x) est aussi l’abscisse d’un point du cône.
262 – RAPPELS SUR LES LIMITES