Chapitre 9
Limites, dérivées,
intégrales
1. Rappels sur les limites
1.1 Limite d'une suite
Au chapitre 1, nous avons expliqué pourquoi, dans une suite décroissante de nombres
positifs, les décimales de ces nombres se stabilisent (page 6). On a la même propriété
pour une suite décroissante et minorée par un nombre quelconque, ou pour une
suite croissante majorée. Rappelons quelques définitions :
– Une suite (u n ) est croissante si l’on a u n+1 u n pour tout n.
– Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M supérieur ou égal à tous les
termes de la suite, c’est-à-dire que l’on a u n M pour tout n.
Une suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que m u n pour tout n.
– Une suite (u n ) est convergente si elle a une limite finie : cela veut dire que pour
tout nombre ε > 0, tous les termes u n sont, après un certain rang, compris entre
− ε et + ε.
Énonçons les propriétés essentielles des suites monotones.
® Soit (u n ) une suite croissante de nombres réels. Si (u n ) est majorée, elle est convergente ;
si (u n ) n’est pas majorée, alors u n tend vers +∞.
® Soit (u n ) une suite décroissante de nombres réels. Si (u n ) est minorée, elle est convergente ;
si (u n ) n’est pas minorée, alors u n tend vers −∞.
Suites adjacentes
Des suites (a n ) et (b n ) sont dites adjacentes si
i) (a n ) est croissante et (b n ) est décroissante,
ii) a n b n pour tout n,
iii) b n − a n tend vers 0.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
EGRALES – 261
Limites, dérivées,
intégrales
1. Rappels sur les limites
1.1 Limite d'une suite
Au chapitre 1, nous avons expliqué pourquoi, dans une suite décroissante de nombres
positifs, les décimales de ces nombres se stabilisent (page 6). On a la même propriété
pour une suite décroissante et minorée par un nombre quelconque, ou pour une
suite croissante majorée. Rappelons quelques définitions :
– Une suite (u n ) est croissante si l’on a u n+1 u n pour tout n.
– Une suite (u n ) est majorée s’il existe un nombre M supérieur ou égal à tous les
termes de la suite, c’est-à-dire que l’on a u n M pour tout n.
Une suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que m u n pour tout n.
– Une suite (u n ) est convergente si elle a une limite finie : cela veut dire que pour
tout nombre ε > 0, tous les termes u n sont, après un certain rang, compris entre
− ε et + ε.
Énonçons les propriétés essentielles des suites monotones.
® Soit (u n ) une suite croissante de nombres réels. Si (u n ) est majorée, elle est convergente ;
si (u n ) n’est pas majorée, alors u n tend vers +∞.
® Soit (u n ) une suite décroissante de nombres réels. Si (u n ) est minorée, elle est convergente ;
si (u n ) n’est pas minorée, alors u n tend vers −∞.
Suites adjacentes
Des suites (a n ) et (b n ) sont dites adjacentes si
i) (a n ) est croissante et (b n ) est décroissante,
ii) a n b n pour tout n,
iii) b n − a n tend vers 0.
Chapitre 9 – LIMITES, D ´
ERIV ´
EES, INT ´
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