exemple U =
⎡
⎣
13
1
5
0
⎤
⎦ et U
=
⎡
⎣
13
−9
7
26
⎤
⎦ . Si P est la matrice de colonnes V, W, U, U
, alors
on a P
−1 AP =
D 0
0 M
, où D =
8 0
0 1/2
et M = 1
130
168 −108
−81 −129
. Les autres valeurs propres de A sont celles de la matrice M ; elles sont faciles à calculer puisque
le polynôme caractéristique de M est de degré 2 : on trouve 3/2 et −6/5.
Exercices
1
@ . Conditionnement d'une matrice symétrique définie positive. Soit S une matrice symétrique définie positive. Montrer que le conditionnement de S est égal à v max /v min ,
où v max est la plus grande valeur propre de S et v min la plus petite (appliquer la
proposition page 245).
2
@ . Localisation des valeurs propres. Soit A = [a ij ] une matrice carrée de taille n et soit
λ ∈ C une valeur propre de A.
a) Soit u = (u 1 , u 2 , . . . , u n ) un vecteur propre relatif à λ et soit k un indice tel que
|u k | |u i | pour tout i. Montrer que l’on a |λ − a kk |
j =k |a kj |.
b) Si a est un nombre complexe et r un nombre réel positif, posons D(a, r) =
{z ∈ C | |z−a| r} : c’est le disque de rayon r centré au point d’affixe a. Montrer
que les valeurs propres de A sont dans la réunion des disques D
a pp ,
j =p |a pj |
.
c) En déduire l’inégalité |λ| max
k
n
j=1
|a kj |
.
3
@ . Des matrices sympathiques. Soit A = [a ij ] une matrice carrée de taille n à diagonale
strictement dominante et à coefficient diagonaux tous strictement positifs.
a) Soit λ une valeur propre complexe de A. En utilisant l’inégalité obtenue en (a) de
l’exercice précédent, montrer que la partie réelle de λ est strictement positive.
b) Montrer que si de plus A est symétrique et à coefficients réels, alors A est définie
positive.
4. Montrer qu’une matrice carrée A à diagonale strictement dominante possède une décomposition LU (remarquer que les matrices A
(k) sont aussi à diagonale strictement
dominante et appliquer une proposition page 250).
5. Reprenons la matrice A =
1 7
0 10
de l’exemple page 255 et les vecteurs X k définis
par X 0 = 1
√
5
1
2
et X k+1 =
1
AX k
AX k . Calculer les coefficients de X k pour tout
k 1 et la limite des vecteurs X k .
258 – EXERCICES
⎡
⎣
13
1
5
0
⎤
⎦ et U
=
⎡
⎣
13
−9
7
26
⎤
⎦ . Si P est la matrice de colonnes V, W, U, U
, alors
on a P
−1 AP =
D 0
0 M
, où D =
8 0
0 1/2
et M = 1
130
168 −108
−81 −129
. Les autres valeurs propres de A sont celles de la matrice M ; elles sont faciles à calculer puisque
le polynôme caractéristique de M est de degré 2 : on trouve 3/2 et −6/5.
Exercices
1
@ . Conditionnement d'une matrice symétrique définie positive. Soit S une matrice symétrique définie positive. Montrer que le conditionnement de S est égal à v max /v min ,
où v max est la plus grande valeur propre de S et v min la plus petite (appliquer la
proposition page 245).
2
@ . Localisation des valeurs propres. Soit A = [a ij ] une matrice carrée de taille n et soit
λ ∈ C une valeur propre de A.
a) Soit u = (u 1 , u 2 , . . . , u n ) un vecteur propre relatif à λ et soit k un indice tel que
|u k | |u i | pour tout i. Montrer que l’on a |λ − a kk |
j =k |a kj |.
b) Si a est un nombre complexe et r un nombre réel positif, posons D(a, r) =
{z ∈ C | |z−a| r} : c’est le disque de rayon r centré au point d’affixe a. Montrer
que les valeurs propres de A sont dans la réunion des disques D
a pp ,
j =p |a pj |
.
c) En déduire l’inégalité |λ| max
k
n
j=1
|a kj |
.
3
@ . Des matrices sympathiques. Soit A = [a ij ] une matrice carrée de taille n à diagonale
strictement dominante et à coefficient diagonaux tous strictement positifs.
a) Soit λ une valeur propre complexe de A. En utilisant l’inégalité obtenue en (a) de
l’exercice précédent, montrer que la partie réelle de λ est strictement positive.
b) Montrer que si de plus A est symétrique et à coefficients réels, alors A est définie
positive.
4. Montrer qu’une matrice carrée A à diagonale strictement dominante possède une décomposition LU (remarquer que les matrices A
(k) sont aussi à diagonale strictement
dominante et appliquer une proposition page 250).
5. Reprenons la matrice A =
1 7
0 10
de l’exemple page 255 et les vecteurs X k définis
par X 0 = 1
√
5
1
2
et X k+1 =
1
AX k
AX k . Calculer les coefficients de X k pour tout
k 1 et la limite des vecteurs X k .
258 – EXERCICES