nulle sur ce vecteur propre, alors la première coordonnée de U 0 est non nulle. Appliquons la
première partie de la démonstration en choisissant la norme X ∗ =P X qui provient du produit scalaire (P X
) · (P Y
). Les vecteurs ε
k
1
U k ∗
U k tendent vers un vecteur αE 1 (où α = 0),
donc les vecteurs X k = 1
W k
W k =
1
P U k
P U k =
1
U k ∗
P U k = P
1
U k ∗
U k
tendent vers
αP E 1 : ce vecteur est colinéaire à la première colonne de P , donc c’est un vecteur propre de
f pour la valeur propre λ. On a AX k = 1
W k
W k+1 =
1
P U k
P U k+1 = 1
U k ∗
P U k+1 = P BZ k
donc AX k = BZ k ∗ : d’après ce qui précède, AX k tend vers |λ|.
Remarques sur la convergence
® Appelons λ, λ 2 , . . . , λ q les valeurs propres de A, où |λ| > |λ i | pour tout i. D’après
la démonstration, la convergence est d’autant plus rapide que les rapports |λ|/|λ i |
sont grands.
Pour augmenter ces rapports et donc la vitesse de convergence, on peut être amené à
appliquer la méthode à la matrice A
=A−αI n , où α est convenablement choisi ; en ajoutant α à une valeur propre de A
, on obtient une valeur propre de A (voir exercice 6).
® Quel que soit le signe de λ, les vecteurs X 2k tendent vers un vecteur propre
associé à λ.
® Si A est une matrice à coefficients complexes vérifiant les hypothèses que nous
avons faites pour la proposition, alors (i) reste vrai et si λ a pour argument θ, les
vecteurs (e
− i kθ )X k tendent vers un vecteur propre associé à λ.
Calcul de la valeur propre de plus petit module. Soit A une matrice inversible ayant une valeur propre simple μ de plus petit module. Aucune valeur propre
de A n’est nulle, les valeurs propres de A
−1 sont les inverses des valeurs propres
de A, donc 1/μ est la valeur propre de plus grand module de A
−1 . On peut ainsi
calculer une approximation de μ en appliquant la méthode à la matrice A
−1 .
Exemple. Soit la matrice symétrique A = 1
150
⎡
⎣
172 −161 −154 −237
−161 743 477 256
−154 477 368
79
−237 256
79
37
⎤
⎦ . En prenant pour X 0 le vecteur dont toutes les coordonnées valent 1, on obtient Y 5 =
7,999996 . . . et les coordonnées de X 5 sont à peu près (−0,258 , 0,774 , 0,516 , 0,258) :
en fait, la plus grande valeur propre est λ = 8 et V = (−1, 3, 2, 1) est un vecteur
propre associé ; les deux vecteurs (1/V )V et X 5 sont de norme 1 et leur écart est
de norme inférieure à 1,6 10
−4 .
En appliquant la méthode à A
−1 , on trouve que la valeur propre de A de plus petite
valeur absolue est μ = 1/2, avec vecteur propre W = (1, 2, −3, 1).
Puisque la matrice A est symétrique, les vecteurs propres relatifs à des valeurs
propres différentes de λ et μ sont dans le plan orthogonal aux vecteurs V et W
(énoncé page 216). Choisissons deux vecteurs formant une base de ce plan, par
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 257
première partie de la démonstration en choisissant la norme X ∗ =P X qui provient du produit scalaire (P X
) · (P Y
). Les vecteurs ε
k
1
U k ∗
U k tendent vers un vecteur αE 1 (où α = 0),
donc les vecteurs X k = 1
W k
W k =
1
P U k
P U k =
1
U k ∗
P U k = P
1
U k ∗
U k
tendent vers
αP E 1 : ce vecteur est colinéaire à la première colonne de P , donc c’est un vecteur propre de
f pour la valeur propre λ. On a AX k = 1
W k
W k+1 =
1
P U k
P U k+1 = 1
U k ∗
P U k+1 = P BZ k
donc AX k = BZ k ∗ : d’après ce qui précède, AX k tend vers |λ|.
Remarques sur la convergence
® Appelons λ, λ 2 , . . . , λ q les valeurs propres de A, où |λ| > |λ i | pour tout i. D’après
la démonstration, la convergence est d’autant plus rapide que les rapports |λ|/|λ i |
sont grands.
Pour augmenter ces rapports et donc la vitesse de convergence, on peut être amené à
appliquer la méthode à la matrice A
=A−αI n , où α est convenablement choisi ; en ajoutant α à une valeur propre de A
, on obtient une valeur propre de A (voir exercice 6).
® Quel que soit le signe de λ, les vecteurs X 2k tendent vers un vecteur propre
associé à λ.
® Si A est une matrice à coefficients complexes vérifiant les hypothèses que nous
avons faites pour la proposition, alors (i) reste vrai et si λ a pour argument θ, les
vecteurs (e
− i kθ )X k tendent vers un vecteur propre associé à λ.
Calcul de la valeur propre de plus petit module. Soit A une matrice inversible ayant une valeur propre simple μ de plus petit module. Aucune valeur propre
de A n’est nulle, les valeurs propres de A
−1 sont les inverses des valeurs propres
de A, donc 1/μ est la valeur propre de plus grand module de A
−1 . On peut ainsi
calculer une approximation de μ en appliquant la méthode à la matrice A
−1 .
Exemple. Soit la matrice symétrique A = 1
150
⎡
⎣
172 −161 −154 −237
−161 743 477 256
−154 477 368
79
−237 256
79
37
⎤
⎦ . En prenant pour X 0 le vecteur dont toutes les coordonnées valent 1, on obtient Y 5 =
7,999996 . . . et les coordonnées de X 5 sont à peu près (−0,258 , 0,774 , 0,516 , 0,258) :
en fait, la plus grande valeur propre est λ = 8 et V = (−1, 3, 2, 1) est un vecteur
propre associé ; les deux vecteurs (1/V )V et X 5 sont de norme 1 et leur écart est
de norme inférieure à 1,6 10
−4 .
En appliquant la méthode à A
−1 , on trouve que la valeur propre de A de plus petite
valeur absolue est μ = 1/2, avec vecteur propre W = (1, 2, −3, 1).
Puisque la matrice A est symétrique, les vecteurs propres relatifs à des valeurs
propres différentes de λ et μ sont dans le plan orthogonal aux vecteurs V et W
(énoncé page 216). Choisissons deux vecteurs formant une base de ce plan, par
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 257