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@ . Une méthode itérative pour résoudre certaines équations linéaires. Soient A une matrice
carrée de taille n et B un vecteur-colonne de K
n . On considère le système d’équations
linéaires (S) : AX = B.
a) Soit a un nombre non nul. Montrer que X est solution de (S) si et seulement X
est point fixe de la transformation affine T : Z → (I n − aA)Z + aB .
On en déduit une technique pour résoudre (S) : chercher un nombre a tel que la
matrice I n − aA ait toutes ses valeurs propres de module strictement inférieur à 1.
S’il en est ainsi, alors pour tout vecteur initial X 0 , les itérés X 1 = T (X 0 ), . . . , X p =
T (X p−1 ), . . . ont pour limite la solution de (S) (corollaire page 185).
b) Supposons que toutes les valeurs propres de A sont réelles et comprises entre les
nombres positifs u et v (où u < v). Posons a = 2
v + u
. Montrer que les valeurs
propres de la matrice M = I n − aA sont de valeur absolue inférieure à
v − u
v + u
< 1
(les valeurs propres de M sont les nombres 1 − λa, où λ est valeur propre de A).
c) Application. On prend A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
3 1/2 0 0 0
1/2 3 1/3 0 0
0 1/3 3 1/3 0
0 0 1/3 3 1/2
0 0 0 1/2 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(i) Montrer que les valeurs propres de A sont réelles et comprises entre u = 2,15
et v = 3,84 (utiliser l’exercice 2.b)). Calculer a.
(ii) Considérons les itérés X 1 = T (X 0 ), . . . , X p+1 = T (X p ), . . . d’un vecteur X 0 ∈ R
5 .
Posons B p = AX p et notons δ p = X − X p l’erreur commise en remplaçant
la solution X de (S) par son approximation X p . Montrer que l’on a
δ p cond(A)B−B p X p /B p .
(iii) Montrer que le conditionnement de A est inférieur ou égal à v/u (remarquer
que la matrice A est symétrique ; en utilisant (i), montrer qu’elle est définie positive
et appliquer l’exercice (1).
(iv) Écrire un algorithme permettant de calculer avec une précision ε donnée, les
coordonnées du vecteur X solution de AX = B.
(v) Supposons B = (1, 0, 2, 0, 1). Montrer que si l’on prend X 0 = 0, les coordonnées
de X sont celles de X 4 à 0,002 près.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 259
@ . Une méthode itérative pour résoudre certaines équations linéaires. Soient A une matrice
carrée de taille n et B un vecteur-colonne de K
n . On considère le système d’équations
linéaires (S) : AX = B.
a) Soit a un nombre non nul. Montrer que X est solution de (S) si et seulement X
est point fixe de la transformation affine T : Z → (I n − aA)Z + aB .
On en déduit une technique pour résoudre (S) : chercher un nombre a tel que la
matrice I n − aA ait toutes ses valeurs propres de module strictement inférieur à 1.
S’il en est ainsi, alors pour tout vecteur initial X 0 , les itérés X 1 = T (X 0 ), . . . , X p =
T (X p−1 ), . . . ont pour limite la solution de (S) (corollaire page 185).
b) Supposons que toutes les valeurs propres de A sont réelles et comprises entre les
nombres positifs u et v (où u < v). Posons a = 2
v + u
. Montrer que les valeurs
propres de la matrice M = I n − aA sont de valeur absolue inférieure à
v − u
v + u
< 1
(les valeurs propres de M sont les nombres 1 − λa, où λ est valeur propre de A).
c) Application. On prend A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
3 1/2 0 0 0
1/2 3 1/3 0 0
0 1/3 3 1/3 0
0 0 1/3 3 1/2
0 0 0 1/2 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(i) Montrer que les valeurs propres de A sont réelles et comprises entre u = 2,15
et v = 3,84 (utiliser l’exercice 2.b)). Calculer a.
(ii) Considérons les itérés X 1 = T (X 0 ), . . . , X p+1 = T (X p ), . . . d’un vecteur X 0 ∈ R
5 .
Posons B p = AX p et notons δ p = X − X p l’erreur commise en remplaçant
la solution X de (S) par son approximation X p . Montrer que l’on a
δ p cond(A)B−B p X p /B p .
(iii) Montrer que le conditionnement de A est inférieur ou égal à v/u (remarquer
que la matrice A est symétrique ; en utilisant (i), montrer qu’elle est définie positive
et appliquer l’exercice (1).
(iv) Écrire un algorithme permettant de calculer avec une précision ε donnée, les
coordonnées du vecteur X solution de AX = B.
(v) Supposons B = (1, 0, 2, 0, 1). Montrer que si l’on prend X 0 = 0, les coordonnées
de X sont celles de X 4 à 0,002 près.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 259