de Poisson, le laplacien de u défini, dans le cas d’une fonction de deux variables
cartésiennes, par Δu = ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
. L’opération u → Δu est linéaire.
Par exemple, pour étudier les vibrations d’une membrane ou la surface d’un liquide en
mouvement dans un bassin, on est amené à résoudre l’équation Δu = −k
2 u : les solutions u sont des vecteurs propres de l’opérateur laplacien (voir l’exercice 11 page 573).
En utilisant la méthode de discrétisation précédente, on est conduit au système linéaire
SU = −k
2 U et à calculer les valeurs propres de S .
3. Calcul de valeurs propres
Si A est une matrice carrée de grande taille, calculer son déterminant est très coûteux
en nombre d’opérations : passer par le polynôme caractéristique n’est donc pas toujours
numériquement efficace pour trouver les valeurs propres. De plus, on n’obtient en général qu’une valeur approchée ˜
λ de la valeur propre, de sorte que l’équation linéaire
AX = ˜
λX n’a pour solution que le vecteur nul : utiliser ce système pour le calcul d’un
vecteur propre présente de sérieuses difficultés. Voici une méthode itérative qui, lorsqu’elle converge, produit des vecteurs X k ayant pour limite un vecteur propre de A.
Un exemple. Soit la matrice A =
1 7
0 10
, de valeurs propres 1 et 10. Posons
Y 0 =
1
2
, X 0 = 1
Y 0
Y 0 et appliquons l’algorithme suivant :
pour k de 1 à p, faire
(i) Y k ← AX k−1
(ii) X k ← 1
Y k
Y k
Pour p = 4, on obtient le vecteur X 4 de coordonnées (0,6139... , 0,7893...) et les
coordonnées de AX 4 sont (6,139... , 7,893...) ; ainsi AX 4 est peu différent de 10X 4 ,
autrement dit le vecteur X 4 est à peu près propre pour la valeur propre 10. Pour
des valeurs de p plus grandes, la précision s’améliore.
Explication. Les vecteurs X k sont obtenus en itérant X 0 par la transformation
W → AW et en divisant chaque fois par la norme. On a A
k =
1 a k
0 10
k
, avec a k =
7
10
k − 1
9
, et il vient W k =A
k X 0 = 1
√
5
A
k Y 0 = 1
√
5
1 + 2a k
2.10
k
. Posons
u k
v k
=W k . Alors
v k
v k−1
=10 et comme a k tend vers l’infini, on a lim
u k
u k−1
=lim
a k
a k−1
=lim
10
k − 1
10
k−1 − 1
=10.
Ainsi le rapport des coefficients entre W k et W k−1 tend vers 10 quand k tend vers
l’infini. Puisque X k =
W k
W k
, on passe aussi à peu près de X k−1 à X k en multipliant par 10, lorsque k est assez grand. Si les X k tendent vers un vecteur X , on a
donc AX = 10X , autrement dit X est un vecteur propre pour la valeur propre 10.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 255
cartésiennes, par Δu = ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
. L’opération u → Δu est linéaire.
Par exemple, pour étudier les vibrations d’une membrane ou la surface d’un liquide en
mouvement dans un bassin, on est amené à résoudre l’équation Δu = −k
2 u : les solutions u sont des vecteurs propres de l’opérateur laplacien (voir l’exercice 11 page 573).
En utilisant la méthode de discrétisation précédente, on est conduit au système linéaire
SU = −k
2 U et à calculer les valeurs propres de S .
3. Calcul de valeurs propres
Si A est une matrice carrée de grande taille, calculer son déterminant est très coûteux
en nombre d’opérations : passer par le polynôme caractéristique n’est donc pas toujours
numériquement efficace pour trouver les valeurs propres. De plus, on n’obtient en général qu’une valeur approchée ˜
λ de la valeur propre, de sorte que l’équation linéaire
AX = ˜
λX n’a pour solution que le vecteur nul : utiliser ce système pour le calcul d’un
vecteur propre présente de sérieuses difficultés. Voici une méthode itérative qui, lorsqu’elle converge, produit des vecteurs X k ayant pour limite un vecteur propre de A.
Un exemple. Soit la matrice A =
1 7
0 10
, de valeurs propres 1 et 10. Posons
Y 0 =
1
2
, X 0 = 1
Y 0
Y 0 et appliquons l’algorithme suivant :
pour k de 1 à p, faire
(i) Y k ← AX k−1
(ii) X k ← 1
Y k
Y k
Pour p = 4, on obtient le vecteur X 4 de coordonnées (0,6139... , 0,7893...) et les
coordonnées de AX 4 sont (6,139... , 7,893...) ; ainsi AX 4 est peu différent de 10X 4 ,
autrement dit le vecteur X 4 est à peu près propre pour la valeur propre 10. Pour
des valeurs de p plus grandes, la précision s’améliore.
Explication. Les vecteurs X k sont obtenus en itérant X 0 par la transformation
W → AW et en divisant chaque fois par la norme. On a A
k =
1 a k
0 10
k
, avec a k =
7
10
k − 1
9
, et il vient W k =A
k X 0 = 1
√
5
A
k Y 0 = 1
√
5
1 + 2a k
2.10
k
. Posons
u k
v k
=W k . Alors
v k
v k−1
=10 et comme a k tend vers l’infini, on a lim
u k
u k−1
=lim
a k
a k−1
=lim
10
k − 1
10
k−1 − 1
=10.
Ainsi le rapport des coefficients entre W k et W k−1 tend vers 10 quand k tend vers
l’infini. Puisque X k =
W k
W k
, on passe aussi à peu près de X k−1 à X k en multipliant par 10, lorsque k est assez grand. Si les X k tendent vers un vecteur X , on a
donc AX = 10X , autrement dit X est un vecteur propre pour la valeur propre 10.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 255