de matrice
S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−4 1 0 1 0 0 0 0 0
1 −4 1 0 1 0 0 0 0
0 1 −4 0 0 1 0 0 0
1 0 0 −4 1 0 1 0 0
0 1 0 1 −4 1 0 1 0
0 0 1 0 1 −4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 −4 1 0
0 0 0 0 1 0 1 −4 1
0 0 0 0 0 1 0 1 −4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
M I 3 0
I 3 M I 3
0 I 3 M
, où M =
−4 1 0
1 −4 1
0 1 −4
et où 0 représente la matrice carrée nulle de taille 3. Le premier membre du système
s’écrit aussi
M I 3 0
I 3 M I 3
0 I 3 M
U 1
U 2
U 3
, en posant U 1 =
u 11
u 12
u 13
, U 2 =
u 21
u 22
u 23
et U 3 =
u 31
u 32
u 33
.
Remarquons que la taille de la plaque et ses propriétés thermiques n’interviennent
pas dans le système (invariance d’échelle).
La matrice S est à diagonale strictement dominante ; elle est aussi symétrique et
comme les coefficients diagonaux de −S sont strictement positifs, −S est définie
positive (exercice 3). Observons que la matrice M est tridiagonale.
Avec la méthode de relaxation pour ω = 0,8 et en prenant le vecteur initial dont
toutes les coordonnées valent 0,5T , on obtient en quatre itérations la solution
u 11 =u 22 =u 33 =0,5T , u 12 =u 23 =0,714T , u 21 =u 32 =0,285T , u 13 =0,857T , u 31 =0,142T
avec une erreur relative inférieure à un centième.
Généralité de la méthode. Dans les applications, on utilise une subdivision
beaucoup plus fine et la matrice du système est de grande taille. Supposons qu’il
y a n
2 points dans la subdivision ; ordonnons-les en parcourant ligne par ligne (ou
colonne par colonne) ; en utilisant l’approximation (∗) du laplacien, on obtient la
matrice carrée de taille n
2
S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
M I n
I n M I n 0
. . .
. . .
. . .
0 I n M I n
I n M
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, où M =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
b a
a b a 0
. . .
. . .
. . .
0 a b a
a b
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, a = 1
h
2
, b = − 2
h
2
− 2
k
2
.
La matrice S est toujours symétrique à diagonale strictement dominante et −S
est définie positive. La méthode de relaxation est donc appropriée pour résoudre
numériquement une équation de Poisson.
Quand le domaine est moins régulier, on le subdivise par des triangles pour mieux
épouser son bord.
Remarque
De nombreuses équations aux dérivées partielles font intervenir, comme l’équation
254 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES
S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−4 1 0 1 0 0 0 0 0
1 −4 1 0 1 0 0 0 0
0 1 −4 0 0 1 0 0 0
1 0 0 −4 1 0 1 0 0
0 1 0 1 −4 1 0 1 0
0 0 1 0 1 −4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 −4 1 0
0 0 0 0 1 0 1 −4 1
0 0 0 0 0 1 0 1 −4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
M I 3 0
I 3 M I 3
0 I 3 M
, où M =
−4 1 0
1 −4 1
0 1 −4
et où 0 représente la matrice carrée nulle de taille 3. Le premier membre du système
s’écrit aussi
M I 3 0
I 3 M I 3
0 I 3 M
U 1
U 2
U 3
, en posant U 1 =
u 11
u 12
u 13
, U 2 =
u 21
u 22
u 23
et U 3 =
u 31
u 32
u 33
.
Remarquons que la taille de la plaque et ses propriétés thermiques n’interviennent
pas dans le système (invariance d’échelle).
La matrice S est à diagonale strictement dominante ; elle est aussi symétrique et
comme les coefficients diagonaux de −S sont strictement positifs, −S est définie
positive (exercice 3). Observons que la matrice M est tridiagonale.
Avec la méthode de relaxation pour ω = 0,8 et en prenant le vecteur initial dont
toutes les coordonnées valent 0,5T , on obtient en quatre itérations la solution
u 11 =u 22 =u 33 =0,5T , u 12 =u 23 =0,714T , u 21 =u 32 =0,285T , u 13 =0,857T , u 31 =0,142T
avec une erreur relative inférieure à un centième.
Généralité de la méthode. Dans les applications, on utilise une subdivision
beaucoup plus fine et la matrice du système est de grande taille. Supposons qu’il
y a n
2 points dans la subdivision ; ordonnons-les en parcourant ligne par ligne (ou
colonne par colonne) ; en utilisant l’approximation (∗) du laplacien, on obtient la
matrice carrée de taille n
2
S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
M I n
I n M I n 0
. . .
. . .
. . .
0 I n M I n
I n M
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, où M =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
b a
a b a 0
. . .
. . .
. . .
0 a b a
a b
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, a = 1
h
2
, b = − 2
h
2
− 2
k
2
.
La matrice S est toujours symétrique à diagonale strictement dominante et −S
est définie positive. La méthode de relaxation est donc appropriée pour résoudre
numériquement une équation de Poisson.
Quand le domaine est moins régulier, on le subdivise par des triangles pour mieux
épouser son bord.
Remarque
De nombreuses équations aux dérivées partielles font intervenir, comme l’équation
254 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES