Discrétisation. Utilisons l’approximation de la dérivée seconde présentée page
141 : pour une fonction numérique (x, y) → u(x, y), le nombre
1
h
2
u(x − h, y) − 2u(x, y) + u(x + h, y)
est une bonne approximation de ∂
2 u
∂x
2
(x, y) si h est assez petit. En tout point (x, y),
on peut donc approcher ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
par
(∗) 1
h
2
u(x−h, y) − 2u(x, y) + u(x+h, y)
+ 1
k
2
u(x, y−k) − 2u(x, y) + u(x, y+k)
à la condition que h et k soient assez petits.
u = T
u = 0
u
= T
u
= 0
A
D
B
C
u 11 u 12 u 13
u 21 u 22 u 23
u 31 u 32 u 33
Supposons que la plaque est un carré ABCD de côté et plaçons-nous dans des
conditions théoriques où l’on maintient une température constante de zéro degré sur les côtés AB et
AD, et une température T sur BC et CD, sauf aux
points B et D où la température n’est pas définie.
Subdivisons la plaque en seize carrés de côtés /4,
ce qui fait apparaître neuf points intérieurs qu’on numérote comme sur la figure par les couples (i, j), où
1 i 3 et 1 j 3. Nous allons estimer la température u ij en chacun de ces points, sous l’hypothèse
d’un état stationnaire.
Les solutions doivent a priori présenter une symétrie par rapport à la diagonale AC .
Au point (1, 1),
∂
2 u
∂x
2
est approché par (1/h
2 )(0 − 2u 11 + u 12 ),
∂
2 u
∂y
2
est approché par (1/k
2 )(u 21 − 2u 11 + T ).
Puisqu’on a ici h = k = /4, l’égalité de Poisson ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0 donne
0 + T + u 12 + u 21 − 4u 11 = 0 .
Procédons de même pour les autres points (i, j) ; en les ordonnant par balayage des
lignes, on obtient le système linéaire carré :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 4u 11 + u 12
+ u 21
= − T
u 11 − 4u 12 + u 13
+ u 22
= − T
u 12 − 4u 13
+ u 23
= − 2T
u 11
− 4u 21 + u 22
+ u 31
=
0
u 12
+ u 21 − 4u 22 + u 23
+ u 32
=
0
u 13
+ u 22 − 4u 23
+ u 33 = − T
u 21
− 4u 31 + u 32
=
0
u 22
+ u 31 − 4u 32 + u 33 =
0
u 23
+ u 32 − 4u 33 = − T
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 253
141 : pour une fonction numérique (x, y) → u(x, y), le nombre
1
h
2
u(x − h, y) − 2u(x, y) + u(x + h, y)
est une bonne approximation de ∂
2 u
∂x
2
(x, y) si h est assez petit. En tout point (x, y),
on peut donc approcher ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
par
(∗) 1
h
2
u(x−h, y) − 2u(x, y) + u(x+h, y)
+ 1
k
2
u(x, y−k) − 2u(x, y) + u(x, y+k)
à la condition que h et k soient assez petits.
u = T
u = 0
u
= T
u
= 0
A
D
B
C
u 11 u 12 u 13
u 21 u 22 u 23
u 31 u 32 u 33
Supposons que la plaque est un carré ABCD de côté et plaçons-nous dans des
conditions théoriques où l’on maintient une température constante de zéro degré sur les côtés AB et
AD, et une température T sur BC et CD, sauf aux
points B et D où la température n’est pas définie.
Subdivisons la plaque en seize carrés de côtés /4,
ce qui fait apparaître neuf points intérieurs qu’on numérote comme sur la figure par les couples (i, j), où
1 i 3 et 1 j 3. Nous allons estimer la température u ij en chacun de ces points, sous l’hypothèse
d’un état stationnaire.
Les solutions doivent a priori présenter une symétrie par rapport à la diagonale AC .
Au point (1, 1),
∂
2 u
∂x
2
est approché par (1/h
2 )(0 − 2u 11 + u 12 ),
∂
2 u
∂y
2
est approché par (1/k
2 )(u 21 − 2u 11 + T ).
Puisqu’on a ici h = k = /4, l’égalité de Poisson ∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0 donne
0 + T + u 12 + u 21 − 4u 11 = 0 .
Procédons de même pour les autres points (i, j) ; en les ordonnant par balayage des
lignes, on obtient le système linéaire carré :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 4u 11 + u 12
+ u 21
= − T
u 11 − 4u 12 + u 13
+ u 22
= − T
u 12 − 4u 13
+ u 23
= − 2T
u 11
− 4u 21 + u 22
+ u 31
=
0
u 12
+ u 21 − 4u 22 + u 23
+ u 32
=
0
u 13
+ u 22 − 4u 23
+ u 33 = − T
u 21
− 4u 31 + u 32
=
0
u 22
+ u 31 − 4u 32 + u 33 =
0
u 23
+ u 32 − 4u 33 = − T
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 253