2.3 Résolution numérique d'une équation de Poisson
Le problème. On considère une plaque en équilibre thermique : en tout point, la
température u n’est fonction que des coordonnées (x,y) de ce point. La plaque est convenablement isolée sur ses deux faces de sorte que la conduction s’exerce dans son plan.
Le flux de chaleur est proportionnel à la section traversée, au gradient de température
∂u
∂x
, ∂u
∂y
et à la conductivité c, qu’on suppose uniforme.
x 0
x 0
+ δx
y 0
y 0
+ δy
e
Exprimons l’équilibre thermique d’un petit volume découpé dans la plaque.
® La face en x 0 a pour surface e δy, où e est l’épaisseur
(constante) de la plaque. Le flux rentrant par cette face est
donc −ce δy ∂u
∂x
(x 0 , y 0 ), le signe moins venant de ce que
le flux de chaleur se fait dans le sens des températures
décroissantes.
® Le flux sortant par la face en x 0 + δx est de même
−ce δy ∂u
∂x
(x 0 + δx, y 0 ).
En négligeant (δx)
2 , il vient ∂u
∂x
(x 0 + δx, y 0 ) = ∂u
∂x
(x 0 , y 0 ) + ∂
∂x
∂u
∂x
δx. Le flux qui
traverse le volume dans la direction x est donc
−ce δy
∂u
∂x
−
∂u
∂x
+ ∂
∂x
∂u
∂x
δx
= ce δxδy ∂
2 u
∂x
2
la dérivée seconde étant prise en (x 0 , y 0 ). De même, dans la direction y, le flux est
ce δyδx ∂
2 u
∂y
2
. Puisque l’équilibre thermique est supposé atteint, le flux total à travers
l’élément est nul :
ce δxδy
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0
d’où l’équation de Poisson
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0 .
Pour simplifier, nous avons supposé idéalement que la plaque n’échangeait pas de
chaleur avec l’extérieur. Dans le cas général où l’on a une distribution de chaleur
f (x, y) en tout point de la plaque (réalisée par exemple en insérant un circuit
chauffant ou réfrigérant), l’état d’équilibre se traduit par l’égalité
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= f
et le problème est de calculer la fonction u connaissant son laplacien Δu = f ; pour
déterminer la solution, il faut imposer les valeurs de u aux bords de la plaque.
252 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES
Le problème. On considère une plaque en équilibre thermique : en tout point, la
température u n’est fonction que des coordonnées (x,y) de ce point. La plaque est convenablement isolée sur ses deux faces de sorte que la conduction s’exerce dans son plan.
Le flux de chaleur est proportionnel à la section traversée, au gradient de température
∂u
∂x
, ∂u
∂y
et à la conductivité c, qu’on suppose uniforme.
x 0
x 0
+ δx
y 0
y 0
+ δy
e
Exprimons l’équilibre thermique d’un petit volume découpé dans la plaque.
® La face en x 0 a pour surface e δy, où e est l’épaisseur
(constante) de la plaque. Le flux rentrant par cette face est
donc −ce δy ∂u
∂x
(x 0 , y 0 ), le signe moins venant de ce que
le flux de chaleur se fait dans le sens des températures
décroissantes.
® Le flux sortant par la face en x 0 + δx est de même
−ce δy ∂u
∂x
(x 0 + δx, y 0 ).
En négligeant (δx)
2 , il vient ∂u
∂x
(x 0 + δx, y 0 ) = ∂u
∂x
(x 0 , y 0 ) + ∂
∂x
∂u
∂x
δx. Le flux qui
traverse le volume dans la direction x est donc
−ce δy
∂u
∂x
−
∂u
∂x
+ ∂
∂x
∂u
∂x
δx
= ce δxδy ∂
2 u
∂x
2
la dérivée seconde étant prise en (x 0 , y 0 ). De même, dans la direction y, le flux est
ce δyδx ∂
2 u
∂y
2
. Puisque l’équilibre thermique est supposé atteint, le flux total à travers
l’élément est nul :
ce δxδy
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0
d’où l’équation de Poisson
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= 0 .
Pour simplifier, nous avons supposé idéalement que la plaque n’échangeait pas de
chaleur avec l’extérieur. Dans le cas général où l’on a une distribution de chaleur
f (x, y) en tout point de la plaque (réalisée par exemple en insérant un circuit
chauffant ou réfrigérant), l’état d’équilibre se traduit par l’égalité
∂
2 u
∂x
2
+ ∂
2 u
∂y
2
= f
et le problème est de calculer la fonction u connaissant son laplacien Δu = f ; pour
déterminer la solution, il faut imposer les valeurs de u aux bords de la plaque.
252 – R ´
ESOLUTION D’ ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES