Rappelons que la suite de Newton est définie par son premier terme x 0 et la
relation x n+1 = x n −
f (x n )
f
(x n )
. Si l’on choisit x 0 plus grand que λ max , par exemple
x 0 =
N (A)
2 , alors x n tend rapidement vers λ max par valeurs supérieures.
La méthode de Hörner (page 48) permet un calcul efficace des nombres f (x n ) et
f
(x n ).
Exemple. Soit A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−14,2 13,8 17,4 10,0
−8,6 18,8 17,0 16,0
−19,0 12,2 −19,4 12,2
9,8 10,0 12,4 12,6
4,4 0,4 10,8 −4,8
⎤
⎥
⎥
⎦ .
a) Posons x 0 = 3311 >
N (A)
2 . Dans la suite de Newton pour le polynôme caractéristique de (
t A)A, le terme x 8 = 2049,8363 . . . approche la plus grande racine à 10
−5
près. En prenant la racine carrée, on obtient A 45,275118, valeur approchée
par excès à 10
−7 près.
b) Voici les résultats obtenus avec la première méthode. La première ligne du tableau indique le nombre de vecteurs X ∈ R
4 générés au hasard et la deuxième
ligne donne r = max (AX/X), valeur approchée par défaut de A ; dans la
troisième ligne, on a calculé l’erreur relative (A − r)/A.
nombre d’essais
10
25
40
55
70
85
100
valeur approchée de A 39,06 44,14 43,36 43,54 43,95 44,24 44,39
erreur relative
0,13 0,02 0,04 0,04 0,03 0,02 0,02
1.2 Conditionnement d'une matrice
La résolution de certaines équations linéaires AX = B présente des difficultés inattendues : de petites variations sur les coefficients du vecteur B produisent de grandes
variations sur la solution X . Cela est très gênant, car dans la pratique numérique,
les coefficients de B, et même de A, ne sont en général connus que de manière
approchée. Ce type d’erreur s’ajoutant aux inévitables arrondis commis pendant la
résolution, la solution calculée n’est plus fiable.
Exemple (d’après R.S. Wilson). Posons
A =
⎡
⎣
10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9
7 5 9 10
⎤
⎦ , B =
⎡
⎣
32
23
33
31
⎤
⎦ et dB =
⎡
⎣
0,1
−0,1
0,1
−0,1
⎤
⎦ .
® La solution de l’équation linéaire AX = B est X =
⎡
⎣
1
1
1
1
⎤
⎦ ,
® et si l’on pose A(X + dX) = B + dB , on obtient dX =
⎡
⎣
9,2
−12,6
4,5
−1,1
⎤
⎦ .
244 – NORME ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE
relation x n+1 = x n −
f (x n )
f
(x n )
. Si l’on choisit x 0 plus grand que λ max , par exemple
x 0 =
N (A)
2 , alors x n tend rapidement vers λ max par valeurs supérieures.
La méthode de Hörner (page 48) permet un calcul efficace des nombres f (x n ) et
f
(x n ).
Exemple. Soit A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−14,2 13,8 17,4 10,0
−8,6 18,8 17,0 16,0
−19,0 12,2 −19,4 12,2
9,8 10,0 12,4 12,6
4,4 0,4 10,8 −4,8
⎤
⎥
⎥
⎦ .
a) Posons x 0 = 3311 >
N (A)
2 . Dans la suite de Newton pour le polynôme caractéristique de (
t A)A, le terme x 8 = 2049,8363 . . . approche la plus grande racine à 10
−5
près. En prenant la racine carrée, on obtient A 45,275118, valeur approchée
par excès à 10
−7 près.
b) Voici les résultats obtenus avec la première méthode. La première ligne du tableau indique le nombre de vecteurs X ∈ R
4 générés au hasard et la deuxième
ligne donne r = max (AX/X), valeur approchée par défaut de A ; dans la
troisième ligne, on a calculé l’erreur relative (A − r)/A.
nombre d’essais
10
25
40
55
70
85
100
valeur approchée de A 39,06 44,14 43,36 43,54 43,95 44,24 44,39
erreur relative
0,13 0,02 0,04 0,04 0,03 0,02 0,02
1.2 Conditionnement d'une matrice
La résolution de certaines équations linéaires AX = B présente des difficultés inattendues : de petites variations sur les coefficients du vecteur B produisent de grandes
variations sur la solution X . Cela est très gênant, car dans la pratique numérique,
les coefficients de B, et même de A, ne sont en général connus que de manière
approchée. Ce type d’erreur s’ajoutant aux inévitables arrondis commis pendant la
résolution, la solution calculée n’est plus fiable.
Exemple (d’après R.S. Wilson). Posons
A =
⎡
⎣
10 7 8 7
7 5 6 5
8 6 10 9
7 5 9 10
⎤
⎦ , B =
⎡
⎣
32
23
33
31
⎤
⎦ et dB =
⎡
⎣
0,1
−0,1
0,1
−0,1
⎤
⎦ .
® La solution de l’équation linéaire AX = B est X =
⎡
⎣
1
1
1
1
⎤
⎦ ,
® et si l’on pose A(X + dX) = B + dB , on obtient dX =
⎡
⎣
9,2
−12,6
4,5
−1,1
⎤
⎦ .
244 – NORME ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE