La petite variation relative vB =
dB
B
qui vaut environ 3,3.10
−3 provoque dans
la solution une variation relative vX =
dX
X
d’environ 8,2, soit un taux vX/vB
supérieur à 2450.
Donnons-nous une matrice carrée A inversible de taille n et un vecteur-colonne
B ∈ R
n . Soit X la solution de l’équation linéaire AX = B . Modifions B en B + dB,
où dB ∈ R
n : la solution devient X + dX , telle que A(X + dX) = B + dB .
On a A(dX) = dB , donc dX = A
−1 (dB) et dX A
−1
dB. En multipliant par
l’inégalité B AX, il vient BdX AA
−1
XdB, d’où
dX
X
AA
−1
dB
B
Définition
Soit A une matrice carrée inversible de taille n. Le nombre AA
−1
s’appelle
le conditionnement de A et se note cond(A).
® Pour une matrice diagonale inversible D = diag(d 1 , d 2 , . . . , d n ), le conditionnement
est le quotient cond(D) =
max |d i |
min |d i |
.
® Puisque I n =A(A
−1 ), il vient 1=I n =A(A
−1 )AA
−1
d’après les propriétés
de la norme. Le conditionnement est donc toujours supérieur ou égal à 1.
® On a l’égalité cond(A) = cond(A
−1 ).
Proposition. Soit A une matrice inversible de taille n et soient B et dB des vecteurscolonne de R
n . Si AX = B et A(X + dX) = B + dB , alors
dX
X
cond(A)
dB
B
.
Calcul du conditionnement
On peut calculer les normes A et A
−1
comme au précédent paragraphe. Dans
l’exemple précédent, on trouve ainsi que le conditionnement vaut environ 2984
(valeur compatible avec les rapports
dX
X
et
dB
B
obtenus).
On a aussi la formule suivante.
Proposition. Soient λ max la plus grande valeur propre de la matrice (
t
A)A et λ min la
plus petite. Alors cond(A) =
λ max /λ min .
Démonstration. Posons S = (
t
A)A et rappelons que toutes les valeurs propres de S sont
strictement positives, car A est inversible (proposition page 217). Pour toute matrice inversible P de taille n, la matrice P
−1 SP a mêmes valeurs propres que S . En choisissant
P =
t
A, cela montre que λ min est la plus petite valeur propre de P
−1 SP = A
t
A. Les valeurs
propres de l’inverse d’une matrice sont les inverses des valeurs propres de cette matrice, donc
1/λ min est la plus grande valeur propre de (A
t
A)
−1 =
t (A
−1 )(A
−1 ). Par conséquent, on a
A
−1
=
1/λ min . Puisque A =
√
λ max , le résultat s’ensuit.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 245
dB
B
qui vaut environ 3,3.10
−3 provoque dans
la solution une variation relative vX =
dX
X
d’environ 8,2, soit un taux vX/vB
supérieur à 2450.
Donnons-nous une matrice carrée A inversible de taille n et un vecteur-colonne
B ∈ R
n . Soit X la solution de l’équation linéaire AX = B . Modifions B en B + dB,
où dB ∈ R
n : la solution devient X + dX , telle que A(X + dX) = B + dB .
On a A(dX) = dB , donc dX = A
−1 (dB) et dX A
−1
dB. En multipliant par
l’inégalité B AX, il vient BdX AA
−1
XdB, d’où
dX
X
AA
−1
dB
B
Définition
Soit A une matrice carrée inversible de taille n. Le nombre AA
−1
s’appelle
le conditionnement de A et se note cond(A).
® Pour une matrice diagonale inversible D = diag(d 1 , d 2 , . . . , d n ), le conditionnement
est le quotient cond(D) =
max |d i |
min |d i |
.
® Puisque I n =A(A
−1 ), il vient 1=I n =A(A
−1 )AA
−1
d’après les propriétés
de la norme. Le conditionnement est donc toujours supérieur ou égal à 1.
® On a l’égalité cond(A) = cond(A
−1 ).
Proposition. Soit A une matrice inversible de taille n et soient B et dB des vecteurscolonne de R
n . Si AX = B et A(X + dX) = B + dB , alors
dX
X
cond(A)
dB
B
.
Calcul du conditionnement
On peut calculer les normes A et A
−1
comme au précédent paragraphe. Dans
l’exemple précédent, on trouve ainsi que le conditionnement vaut environ 2984
(valeur compatible avec les rapports
dX
X
et
dB
B
obtenus).
On a aussi la formule suivante.
Proposition. Soient λ max la plus grande valeur propre de la matrice (
t
A)A et λ min la
plus petite. Alors cond(A) =
λ max /λ min .
Démonstration. Posons S = (
t
A)A et rappelons que toutes les valeurs propres de S sont
strictement positives, car A est inversible (proposition page 217). Pour toute matrice inversible P de taille n, la matrice P
−1 SP a mêmes valeurs propres que S . En choisissant
P =
t
A, cela montre que λ min est la plus petite valeur propre de P
−1 SP = A
t
A. Les valeurs
propres de l’inverse d’une matrice sont les inverses des valeurs propres de cette matrice, donc
1/λ min est la plus grande valeur propre de (A
t
A)
−1 =
t (A
−1 )(A
−1 ). Par conséquent, on a
A
−1
=
1/λ min . Puisque A =
√
λ max , le résultat s’ensuit.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 245