Un rapport AX/X reste inchangé quand on remplace X par λX : on obtient
donc tous ces nombres en faisant seulement parcourir à X les vecteurs de norme 1.
Posons ϕ(X) = AX/X pour X appartenant à la sphère S = {X ∈ R
p
| |X = 1}.
La fonction ϕ est continue et S est un domaine compact (page 362), donc ϕ atteint son
maximum en un point de S .
Définition
Soit A une matrice à p colonnes. La norme de la matrice A, notée A, est le plus
grand des nombres
AX
X
, quand X parcourt les vecteurs non nuls de R
p .
L’emploi du mot « norme » pour ce nombre se justifie par les propriétés (b), (c) et (d)
ci-dessous.
Propriétés de la norme d'une matrice. Soit A ∈ M n,p (R).
a) Pour tout vecteur X ∈ R
p , on a AX A X.
b) A = 0 ⇐⇒ A = 0.
c) λA = |λ||A pour tout nombre réel λ.
d) Si A
∈ M n,p (R), alors A + A
A + A
.
e) Si B ∈ M p,q (R), alors AB A B.
Démonstration. Par définition de la norme de A, on a
AX
X
A pour tout vecteur non
nul X ∈ R
p , d’où l’inégalité (a). On en déduit que si A =0, alors AX =0 pour tout X , donc la
matrice A est nulle ; réciproquement, si A=0, alors AX=0=0 pour tout X . Si λ∈R, alors
(λA)X
X
= |λ|
AX
X
, d’où (c). D’après l’inégalité triangulaire (page 204), on a (A + A
)X =
AX + A
X AX + A
X. On en déduit (A + A
)X (A + A
)X ; pour tout
vecteur X = 0, le nombre
(A + A
)X
X
est donc inférieur ou égal à A + A
, d’où (d). Si B
est une matrice réelle à p lignes et q colonnes, alors pour tout X ∈ R
q , on a BX BX
et A(BX) ABX, donc (AB)X = A(BX) ABX, ce qui démontre (e).
Calculer la norme d’une matrice est rarement commode. Le plus souvent, on se
contente d’une majoration ou d’une estimation numérique. Voici des exceptions où
le calcul de la norme est cependant très simple.
Exemples
1) Si A est une matrice-ligne, A est simplement la norme de A considérée comme
un vecteur (voir l’exemple au début du paragraphe).
2) Supposons que la matrice A est orthogonale de taille n. Dans ce cas, la transformation X → AX de R
n est une isométrie et AX = X pour tout X , donc A = 1.
3) Prenons une matrice diagonale D = diag(d 1 ,d 2 ,. . .,d n ). Si X est un vecteur-colonne
de coordonnées (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ), les coordonnées de DX sont (d 1 x 1 ,d 2 x 2 ,. . .,d n x n )
et DX
2 = d
2
1 x
2
1 + d
2
2 x
2
2 + · · · + d
2
n x
2
n . Posons m = max
|d 1 |, |d 2 |, . . . , |d n |
. On a
242 – NORME ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE
donc tous ces nombres en faisant seulement parcourir à X les vecteurs de norme 1.
Posons ϕ(X) = AX/X pour X appartenant à la sphère S = {X ∈ R
p
| |X = 1}.
La fonction ϕ est continue et S est un domaine compact (page 362), donc ϕ atteint son
maximum en un point de S .
Définition
Soit A une matrice à p colonnes. La norme de la matrice A, notée A, est le plus
grand des nombres
AX
X
, quand X parcourt les vecteurs non nuls de R
p .
L’emploi du mot « norme » pour ce nombre se justifie par les propriétés (b), (c) et (d)
ci-dessous.
Propriétés de la norme d'une matrice. Soit A ∈ M n,p (R).
a) Pour tout vecteur X ∈ R
p , on a AX A X.
b) A = 0 ⇐⇒ A = 0.
c) λA = |λ||A pour tout nombre réel λ.
d) Si A
∈ M n,p (R), alors A + A
A + A
.
e) Si B ∈ M p,q (R), alors AB A B.
Démonstration. Par définition de la norme de A, on a
AX
X
A pour tout vecteur non
nul X ∈ R
p , d’où l’inégalité (a). On en déduit que si A =0, alors AX =0 pour tout X , donc la
matrice A est nulle ; réciproquement, si A=0, alors AX=0=0 pour tout X . Si λ∈R, alors
(λA)X
X
= |λ|
AX
X
, d’où (c). D’après l’inégalité triangulaire (page 204), on a (A + A
)X =
AX + A
X AX + A
X. On en déduit (A + A
)X (A + A
)X ; pour tout
vecteur X = 0, le nombre
(A + A
)X
X
est donc inférieur ou égal à A + A
, d’où (d). Si B
est une matrice réelle à p lignes et q colonnes, alors pour tout X ∈ R
q , on a BX BX
et A(BX) ABX, donc (AB)X = A(BX) ABX, ce qui démontre (e).
Calculer la norme d’une matrice est rarement commode. Le plus souvent, on se
contente d’une majoration ou d’une estimation numérique. Voici des exceptions où
le calcul de la norme est cependant très simple.
Exemples
1) Si A est une matrice-ligne, A est simplement la norme de A considérée comme
un vecteur (voir l’exemple au début du paragraphe).
2) Supposons que la matrice A est orthogonale de taille n. Dans ce cas, la transformation X → AX de R
n est une isométrie et AX = X pour tout X , donc A = 1.
3) Prenons une matrice diagonale D = diag(d 1 ,d 2 ,. . .,d n ). Si X est un vecteur-colonne
de coordonnées (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ), les coordonnées de DX sont (d 1 x 1 ,d 2 x 2 ,. . .,d n x n )
et DX
2 = d
2
1 x
2
1 + d
2
2 x
2
2 + · · · + d
2
n x
2
n . Posons m = max
|d 1 |, |d 2 |, . . . , |d n |
. On a
242 – NORME ET CONDITIONNEMENT D’UNE MATRICE