Chapitre 8
Des méthodes
numériques
1. Norme et conditionnement d'une matrice
Dans ce chapitre, nous utilisons la norme euclidienne usuelle dans les espaces R
n .
1.1 Norme d'une matrice
On a souvent besoin de savoir dans quelle mesure une application linéaire modifie
les normes des vecteurs.
® Prenons par exemple l’application linéaire de R
p dans R qui à tout vecteur X ∈ R
p
associe le produit scalaire C · X par un vecteur-colonne C ∈ R
p donné. D’après
l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a |C · X| C X et l’égalité a lieu si C et
X sont colinéaires. Lorsque X parcourt les vecteurs non nuls de R
p , les rapports
|C · X|
X
ont donc pour valeur maximum C.
® Soit A une matrice à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes. Notons
C 1 , C 2 , . . . , C n les matrices-ligne de A. Si X est un vecteur de R
p , le i-ème coefficient du vecteur AX ∈ R
n est le produit scalaire C i · X , donc AX =
⎡
⎢
⎢
⎣
C 1 ·X
C 2 ·X
. . .
C n ·X
⎤
⎥
⎥
⎦ .
En notant de la même manière la norme euclidienne dans R
n et dans R
p , il vient
AX
2 = (C 1 ·X)
2 + (C 2 ·X)
2 + · · · + (C n ·X)
2
C 1
2 + C 2
2 + · · · + C n
2
X
2 .
Quand X parcourt les vecteurs non nuls de R
p , les rapports
AX
2
X
2
restent donc
inférieurs ou égaux au nombre
N (A)
2 = C 1
2 + C 2
2 + · · · + C n
2 =
i,j a
2
ij
égal à la somme des carrés des coefficients de A.
Chapitre 8 – DES M ´
ETHODES NUM ´
ERIQUES – 241