b) Trouver les axes de l’ellipse E d’équation 6x
2 + 4xy + 9y
2 = 40 : ils sont dirigés
par les vecteurs propres de la matrice S .
c) Calculer des vecteurs E 1 et E 2 formant une base orthonormée de vecteurs propres
de S (le vecteur E 1 étant relatif à la plus petite des deux valeurs propres). Montrer que dans le repère d’origine O = (0, 0) et d’axes E 1 , E 2 , l’ellipse E a pour
équation 5u
2 + 10v
2 = 40. Dessiner cette ellipse en faisant figurer les axes Ox, Oy
et les vecteurs E 1 , E 2 .
d) En s’inspirant de l’exercice précédent, montrer que
i) le maximum de x
2 + y
2 lorsque 6x
2 + 4xy + 9y
2
40 est égal à 8,
ii) le maximum de 6x
2 + 4xy + 9y
2 lorsque x
2 + y
2
k
2 est égal à 10k
2 .
5
@ . Produits scalaires généraux. Soit S une matrice à coefficients réels, symétrique et
définie positive.
a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale Δ à coefficients diagonaux strictement
positifs et une matrice orthogonale P telle que S = P
−1 Δ
2 P .
b) On pose M = ΔP . Montrer que la matrice M est inversible et que S = (
t M )M .
c) Montrer que le produit scalaire (
t X)SX
est le produit scalaire euclidien usuel
des vecteurs MX et MX
.
6. Soient a, b, c, d des nombres réels tels que a
2 + b
2 + c
2 + d
2 = 1. Montrer que la
matrice
⎡
⎣
a −b c −d
b a −d −c
c −d −a b
d c b a
⎤
⎦ est orthogonale.
7. Une pyramide orthocentrique. Dans l’espace euclidien R
3 , on considère les points
A = (1, 0, −
√
2/4), B = (−1/2,
√
3/2, −
√
2/4), C = (−1/2, −
√
3/2, −
√
2/4) et D =
(0, 0, 3
√
2/4).
a) Montrer que ces points sont les sommets d’une pyramide régulière (c’est-à-dire
un tétraèdre ayant toutes ses arêtes de la même longueur). Montrer que cette
pyramide est centrée à l’origine.
b) Quel est l’écart angulaire entre deux arêtes passant par un même sommet ?
c) Montrer que des arêtes opposées (comme AB et CD) sont orthogonales.
8
@ . Rotations et symétries. Dans l’espace euclidien de dimension 3, on choisit un repère
orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k).
a) Trouver la matrice de la rotation d’axe (1, 1, 1) et d’angle θ. Que devient cette
matrice lorsque θ = 2π/3 ?
b) Quel est le symétrique du point de coordonnées (u, v, w) par rapport au plan
d’équation x − y + 2z = 0 ?
c) Quel est le symétrique du point de coordonnées (u, v, w) par rapport au plan
d’équation x − y + 2z = 1 ?
238 – EXERCICES
2 + 4xy + 9y
2 = 40 : ils sont dirigés
par les vecteurs propres de la matrice S .
c) Calculer des vecteurs E 1 et E 2 formant une base orthonormée de vecteurs propres
de S (le vecteur E 1 étant relatif à la plus petite des deux valeurs propres). Montrer que dans le repère d’origine O = (0, 0) et d’axes E 1 , E 2 , l’ellipse E a pour
équation 5u
2 + 10v
2 = 40. Dessiner cette ellipse en faisant figurer les axes Ox, Oy
et les vecteurs E 1 , E 2 .
d) En s’inspirant de l’exercice précédent, montrer que
i) le maximum de x
2 + y
2 lorsque 6x
2 + 4xy + 9y
2
40 est égal à 8,
ii) le maximum de 6x
2 + 4xy + 9y
2 lorsque x
2 + y
2
k
2 est égal à 10k
2 .
5
@ . Produits scalaires généraux. Soit S une matrice à coefficients réels, symétrique et
définie positive.
a) Montrer qu’il existe une matrice diagonale Δ à coefficients diagonaux strictement
positifs et une matrice orthogonale P telle que S = P
−1 Δ
2 P .
b) On pose M = ΔP . Montrer que la matrice M est inversible et que S = (
t M )M .
c) Montrer que le produit scalaire (
t X)SX
est le produit scalaire euclidien usuel
des vecteurs MX et MX
.
6. Soient a, b, c, d des nombres réels tels que a
2 + b
2 + c
2 + d
2 = 1. Montrer que la
matrice
⎡
⎣
a −b c −d
b a −d −c
c −d −a b
d c b a
⎤
⎦ est orthogonale.
7. Une pyramide orthocentrique. Dans l’espace euclidien R
3 , on considère les points
A = (1, 0, −
√
2/4), B = (−1/2,
√
3/2, −
√
2/4), C = (−1/2, −
√
3/2, −
√
2/4) et D =
(0, 0, 3
√
2/4).
a) Montrer que ces points sont les sommets d’une pyramide régulière (c’est-à-dire
un tétraèdre ayant toutes ses arêtes de la même longueur). Montrer que cette
pyramide est centrée à l’origine.
b) Quel est l’écart angulaire entre deux arêtes passant par un même sommet ?
c) Montrer que des arêtes opposées (comme AB et CD) sont orthogonales.
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@ . Rotations et symétries. Dans l’espace euclidien de dimension 3, on choisit un repère
orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k).
a) Trouver la matrice de la rotation d’axe (1, 1, 1) et d’angle θ. Que devient cette
matrice lorsque θ = 2π/3 ?
b) Quel est le symétrique du point de coordonnées (u, v, w) par rapport au plan
d’équation x − y + 2z = 0 ?
c) Quel est le symétrique du point de coordonnées (u, v, w) par rapport au plan
d’équation x − y + 2z = 1 ?
238 – EXERCICES