9. Soit M une matrice à coefficients réels, à n lignes et p colonnes. On suppose n p
et que M est de rang p.
a) Montrer que les matrices (
t M )M et M (
t M ) sont carrées et symétriques, de taille
respective p et n. Montrer que (
t M )M est inversible (considérer la matrice formée
des p premières lignes de M ).
b) Soit U un vecteur propre de (
t M )M pour la valeur propre λ. Montrer que
MU = 0 et que MU est un vecteur propre de M (
t M ) pour la valeur propre λ.
10
@ . Mouvement apparent pendant une rotation
A
M
I
→
v
ω
→
k
En un point A d’une voie ferrée en courbe, le centre de courbure est en I ; pour
un observateur situé dans le train, au passage en A, les
points du paysage ont un mouvement apparent de point
fixe I . Supposons que le paysage est dans le plan de la voie
ferrée et soit
→
k un vecteur de norme 1 orthogonal à ce plan :
la vitesse apparente d’un point M est ω
→
k ∧
− − − − − →
IM , avec ω = V /IA
et V la vitesse linéaire du train en A. Sur la figure,
→
v est le vecteur vitesse du train en A.
Montrer que les points M qui semblent se diriger vers l’observateur sont situés sur
un cercle de diamètre IA (sur une photographie prise vers l’intérieur de la courbe,
ces points seront les plus nets).
11. Un exemple de sous-espace dont l'orthogonal est réduit au vecteur nul
Soit V l’espace vectoriel des fonctions x → f (x) continues par morceaux sur [0,+∞[ et
négligeables à l’infini devant 1/x. Si f et g sont de telles fonctions, le produit f (x)g(x) est
négligeable à l’infini devant 1/x
2 , donc l’intégrale généralisée f ·g=
+∞
0
f (t)g(t) dt existe
(page 325). Cela définit un produit scalaire sur V . Considérons le sous-espace W des
fonctions qui valent 0 pour x assez grand : par exemple, pour tout nombre a strictement
positif, la fonction C a qui vaut 1 pour 0xa et 0 pour x>a, est un élément de W . Pour
toute fonction f ∈V , la fonction produit fC a qui à x associe f (x)C a (x), appartient à W .
a) Montrer qu’il existe des éléments de V qui n’appartiennent pas à W .
b) Montrer que si f ∈ V , alors f · (fC a ) =
a
0
f (t)
2 dt pour tout a > 0.
c) En déduire que si f est un élément de V orthogonal à W , alors f est la fonction nulle.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 239
et que M est de rang p.
a) Montrer que les matrices (
t M )M et M (
t M ) sont carrées et symétriques, de taille
respective p et n. Montrer que (
t M )M est inversible (considérer la matrice formée
des p premières lignes de M ).
b) Soit U un vecteur propre de (
t M )M pour la valeur propre λ. Montrer que
MU = 0 et que MU est un vecteur propre de M (
t M ) pour la valeur propre λ.
10
@ . Mouvement apparent pendant une rotation
A
M
I
→
v
ω
→
k
En un point A d’une voie ferrée en courbe, le centre de courbure est en I ; pour
un observateur situé dans le train, au passage en A, les
points du paysage ont un mouvement apparent de point
fixe I . Supposons que le paysage est dans le plan de la voie
ferrée et soit
→
k un vecteur de norme 1 orthogonal à ce plan :
la vitesse apparente d’un point M est ω
→
k ∧
− − − − − →
IM , avec ω = V /IA
et V la vitesse linéaire du train en A. Sur la figure,
→
v est le vecteur vitesse du train en A.
Montrer que les points M qui semblent se diriger vers l’observateur sont situés sur
un cercle de diamètre IA (sur une photographie prise vers l’intérieur de la courbe,
ces points seront les plus nets).
11. Un exemple de sous-espace dont l'orthogonal est réduit au vecteur nul
Soit V l’espace vectoriel des fonctions x → f (x) continues par morceaux sur [0,+∞[ et
négligeables à l’infini devant 1/x. Si f et g sont de telles fonctions, le produit f (x)g(x) est
négligeable à l’infini devant 1/x
2 , donc l’intégrale généralisée f ·g=
+∞
0
f (t)g(t) dt existe
(page 325). Cela définit un produit scalaire sur V . Considérons le sous-espace W des
fonctions qui valent 0 pour x assez grand : par exemple, pour tout nombre a strictement
positif, la fonction C a qui vaut 1 pour 0xa et 0 pour x>a, est un élément de W . Pour
toute fonction f ∈V , la fonction produit fC a qui à x associe f (x)C a (x), appartient à W .
a) Montrer qu’il existe des éléments de V qui n’appartiennent pas à W .
b) Montrer que si f ∈ V , alors f · (fC a ) =
a
0
f (t)
2 dt pour tout a > 0.
c) En déduire que si f est un élément de V orthogonal à W , alors f est la fonction nulle.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 239