0,4
0,3
0,2
1
1,4
1,8
t
y
Voici les résultats, y i désignant la mesure de y(t i ) :
t i 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
y i 0,41 0,39 0,34 0,30 0,27 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,13
Puisque lny(t)=−kt+lny 0 , on cherche la droite de régression
pour les points (t i , ln y i ). Montrer que l’on trouve k = 1,17
et y 0 = 1,36. Au bout de combien de minutes la moitié de
la substance avait-elle diffusé ? La figure ci-contre montre
les points mesurés et la courbe y(t) sur l’intervalle [1, 2].
2.
0
1
1
−1
0,5
graphe de f
Exemple d'approximation polynomiale. On veut approcher par
des polynômes de degré au plus 2 la fonction f dont le
graphe est représenté ci-contre.
Précisément, on cherche un polynôme P (x)=a+bx+cx
2 qui
rend minimum l’intégrale I(Q) =
1
−1
f (t) − Q(t)
2 dt quand
Q parcourt les polynômes de degré au plus 2. Pour cela,
considérons l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1] muni du produit
scalaire u · v =
1
−1
u(t)v(t) dt et le sous-espace W engendré par les polynômes 1,x,x
2 .
a) Calculer f (x) pour −1 x 1/2 et pour 1/2 x 1.
b) Au moyen de la méthode de Gram-Schmidt appliqué aux polynômes 1, x, x
2 ,
trouver des polynômes q 0 , q 1 , q 2 de degrés respectifs 0, 1, 2 formant une base
orthonormée de W .
c) Montrer que P est le projeté orthogonal de f sur W et calculer les coordonnées de P
dans la base (q 0 ,q 1 ,q 2 ). Que vaut la distance d(f,W )=
1
−1
f (t) − P (t)
2 dt
1/2
de
f au sous-espace W ? Sur un même dessin, représenter le graphe de f et celui de P .
On trouve P = (1/64)(17 − 16t + 45t
2 ) et d(f, W ) =
√
38/32 < 2/10.
3
@ . Dans l’exemple page 219, l’ellipsoïde E K a pour équation 3x
2 +3y
2 +2z
2 +2xz +2yz =
K
2 , ou encore u
2 + 3v
2 + 4w
2 = K
2 en utilisant les coordonnées u, v, w dans les axes
orthonormés de E K . Si r est un nombre positif, on note B r la boule de centre l’origine et de rayon r : un point de coordonnées (x, y, z) est dans B r si et seulement
si x
2 + y
2 + z
2
r
2 .
a) Montrer que dans les coordonnées u, v, w, l’équation de B r est u
2 + v
2 + w
2
r
2 .
b) Montrer que pour tous nombres u, v, w, on a u
2 + v
2 + w
2
u
2 + 3v
2 + 4w
2
4(u
2 + v
2 + w
2 ) et que les cas d’égalité sont possibles.
c) En déduire que B K/2 est la plus grande boule centrée à l’origine et contenue à
l’intérieur de E K et que B K la plus petite boule contenant E K .
4
@ . Dessiner une ellipse. On pose f (x, y) = 6x
2 + 4xy + 9y
2 .
a) Écrire la matrice symétrique S telle que f (x, y) = (
t X)SX pour tout X =
x
y
.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 237
0,3
0,2
1
1,4
1,8
t
y
Voici les résultats, y i désignant la mesure de y(t i ) :
t i 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
y i 0,41 0,39 0,34 0,30 0,27 0,21 0,20 0,18 0,17 0,15 0,13
Puisque lny(t)=−kt+lny 0 , on cherche la droite de régression
pour les points (t i , ln y i ). Montrer que l’on trouve k = 1,17
et y 0 = 1,36. Au bout de combien de minutes la moitié de
la substance avait-elle diffusé ? La figure ci-contre montre
les points mesurés et la courbe y(t) sur l’intervalle [1, 2].
2.
0
1
1
−1
0,5
graphe de f
Exemple d'approximation polynomiale. On veut approcher par
des polynômes de degré au plus 2 la fonction f dont le
graphe est représenté ci-contre.
Précisément, on cherche un polynôme P (x)=a+bx+cx
2 qui
rend minimum l’intégrale I(Q) =
1
−1
f (t) − Q(t)
2 dt quand
Q parcourt les polynômes de degré au plus 2. Pour cela,
considérons l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1] muni du produit
scalaire u · v =
1
−1
u(t)v(t) dt et le sous-espace W engendré par les polynômes 1,x,x
2 .
a) Calculer f (x) pour −1 x 1/2 et pour 1/2 x 1.
b) Au moyen de la méthode de Gram-Schmidt appliqué aux polynômes 1, x, x
2 ,
trouver des polynômes q 0 , q 1 , q 2 de degrés respectifs 0, 1, 2 formant une base
orthonormée de W .
c) Montrer que P est le projeté orthogonal de f sur W et calculer les coordonnées de P
dans la base (q 0 ,q 1 ,q 2 ). Que vaut la distance d(f,W )=
1
−1
f (t) − P (t)
2 dt
1/2
de
f au sous-espace W ? Sur un même dessin, représenter le graphe de f et celui de P .
On trouve P = (1/64)(17 − 16t + 45t
2 ) et d(f, W ) =
√
38/32 < 2/10.
3
@ . Dans l’exemple page 219, l’ellipsoïde E K a pour équation 3x
2 +3y
2 +2z
2 +2xz +2yz =
K
2 , ou encore u
2 + 3v
2 + 4w
2 = K
2 en utilisant les coordonnées u, v, w dans les axes
orthonormés de E K . Si r est un nombre positif, on note B r la boule de centre l’origine et de rayon r : un point de coordonnées (x, y, z) est dans B r si et seulement
si x
2 + y
2 + z
2
r
2 .
a) Montrer que dans les coordonnées u, v, w, l’équation de B r est u
2 + v
2 + w
2
r
2 .
b) Montrer que pour tous nombres u, v, w, on a u
2 + v
2 + w
2
u
2 + 3v
2 + 4w
2
4(u
2 + v
2 + w
2 ) et que les cas d’égalité sont possibles.
c) En déduire que B K/2 est la plus grande boule centrée à l’origine et contenue à
l’intérieur de E K et que B K la plus petite boule contenant E K .
4
@ . Dessiner une ellipse. On pose f (x, y) = 6x
2 + 4xy + 9y
2 .
a) Écrire la matrice symétrique S telle que f (x, y) = (
t X)SX pour tout X =
x
y
.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 237