F
G
second plan factoriel
Puisque D k a pour norme 1, on a D
k 1. Dans le second plan factoriel, D
1 ,. . .,D
p
forment ainsi un nuage de points, tous situés à une distance au plus 1 de l’origine.
Dans le second plan factoriel, les projetés des caractères sont confinés dans le disque de rayon 1
centré à l’origine.
La qualité de représentation d’un caractère D k se mesure par la distance de D
k à l’origine : en effet, on a
D
k
2 + D k −D
k
2 = D k
2 = 1, donc si D
k est peu
inférieur à 1, alors D k − D
k est petit et D
k est proche
de D k .
Des projections groupées et situées près du bord du disque
traduisent des caractères bien corrélés : c’est pourquoi le cercle unité s’appelle le cercle
des corrélations. En repérant des groupes de points proches du cercle des corrélations,
on découvre des oppositions et des corrélations positives entre les caractères initiaux.
L’analyse en composantes principales utilise conjointement les représentations dans chacun des plans factoriels. Il importe de ne pas confondre ces deux représentations qui
ne se situent pas dans le même espace : il s’agit de R
p pour le premier, de R
n pour
le second. Mais on doit croiser les informations tirées de chaque représentation.
Exemple. On considère des données sociologiques et électorales recueillies dans
dix-huit villes françaises à l’occasion des élections municipales de mars 2001 : le
tableau des données figure en annexe, page 578. Il y a huit caractères :
poptop est la population totale,
popetr est la population étrangère,
logsoc est le parc de logement social,
chomage est le taux de chomage (d’après l’INSEE),
txhab est le montant de la taxe d’habitation,
revenu est le revenu annuel moyen par habitant (sur la base des revenus en 1998),
votants est le nombre de votants au premier tour,
maj est le pourcentage obtenu par la liste majoritaire.
Les autres tableaux donnent la moyenne des caractères, leur écart-type, la matrice
des covariances, les valeurs propres, leur poids, les coordonnées des projections des
villes dans le premier plan factoriel et leur qualité de représentation.
Le deux plus grandes valeurs propres ont pour poids respectif 45% et 30% environ :
le premier plan factoriel a ainsi un poids d’environ 75%, ce qui justifie une analyse
sur les deux premières composantes principales. La figure 1 ci-dessous montre les
projections des villes dans le premier plan factoriel.
Dans le second plan factoriel (figure 2), les caractères bien représentés sont ceux qui
sont assez proches du cercle des corrélations : c’est le cas du revenu, de la population
totale, de la population étrangère, du parc de logement social, du nombre de votants
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 235
G
second plan factoriel
Puisque D k a pour norme 1, on a D
k 1. Dans le second plan factoriel, D
1 ,. . .,D
p
forment ainsi un nuage de points, tous situés à une distance au plus 1 de l’origine.
Dans le second plan factoriel, les projetés des caractères sont confinés dans le disque de rayon 1
centré à l’origine.
La qualité de représentation d’un caractère D k se mesure par la distance de D
k à l’origine : en effet, on a
D
k
2 + D k −D
k
2 = D k
2 = 1, donc si D
k est peu
inférieur à 1, alors D k − D
k est petit et D
k est proche
de D k .
Des projections groupées et situées près du bord du disque
traduisent des caractères bien corrélés : c’est pourquoi le cercle unité s’appelle le cercle
des corrélations. En repérant des groupes de points proches du cercle des corrélations,
on découvre des oppositions et des corrélations positives entre les caractères initiaux.
L’analyse en composantes principales utilise conjointement les représentations dans chacun des plans factoriels. Il importe de ne pas confondre ces deux représentations qui
ne se situent pas dans le même espace : il s’agit de R
p pour le premier, de R
n pour
le second. Mais on doit croiser les informations tirées de chaque représentation.
Exemple. On considère des données sociologiques et électorales recueillies dans
dix-huit villes françaises à l’occasion des élections municipales de mars 2001 : le
tableau des données figure en annexe, page 578. Il y a huit caractères :
poptop est la population totale,
popetr est la population étrangère,
logsoc est le parc de logement social,
chomage est le taux de chomage (d’après l’INSEE),
txhab est le montant de la taxe d’habitation,
revenu est le revenu annuel moyen par habitant (sur la base des revenus en 1998),
votants est le nombre de votants au premier tour,
maj est le pourcentage obtenu par la liste majoritaire.
Les autres tableaux donnent la moyenne des caractères, leur écart-type, la matrice
des covariances, les valeurs propres, leur poids, les coordonnées des projections des
villes dans le premier plan factoriel et leur qualité de représentation.
Le deux plus grandes valeurs propres ont pour poids respectif 45% et 30% environ :
le premier plan factoriel a ainsi un poids d’environ 75%, ce qui justifie une analyse
sur les deux premières composantes principales. La figure 1 ci-dessous montre les
projections des villes dans le premier plan factoriel.
Dans le second plan factoriel (figure 2), les caractères bien représentés sont ceux qui
sont assez proches du cercle des corrélations : c’est le cas du revenu, de la population
totale, de la population étrangère, du parc de logement social, du nombre de votants
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 235