B(0,3)
A(0,85)
C(0,68)
D(0,92)
E(0,9)
F 1
F 2
U
V
O
premier plan factoriel
La figure ci-contre montre dans le pan U,V les projetés de quelques individus ; le nombre
entre parenthèses est la qualité de représentation. Les points A,D,E sont de bonne qualité :
leur distance à l’origine et leurs distances mutuelles traduisent fidèlement celles des individus correspondants.
L’individu qui se projette en A a un profil voisin de
U et celui qui se projette en E a un profil voisin de
V . L’individu qui se projette en D est composé de −U
à 64% et de V à 36%. La projection C , de qualité
moyenne, n’est guère significative en l’absence d’autres
renseignements. Il en va de même pour le point B qui,
bien que très proche de l’axe V , est de mauvaise qualité.
Projection des caractères : le second plan factoriel
Rappelons que les vecteurs U et V sont des vecteurs propres de norme 1 associés aux
deux plus grandes valeurs propres λ et μ de la matrice des covariances C , avec λ>μ.
Chaque ligne de M est un profil des p caractères. Le caractère fictif U ∈ R
p est
déterminé par les produits scalaires avec ces n profils, c’est-à-dire par le vecteur
MU de coordonnées [a 1 , a 2 , · · · , a n ]. On a
MU
2 =
t (MU)(MU) = (
t U )(
t M )MU = (
t U ) C U = (
t U )λU = λU
2 = λ
donc MU =
√
λ et de même MV =
√
μ. Posons
F = 1
√
λ
MU et G = 1
√ μ
MV .
Les vecteurs F et G appartiennent à R
n et sont de norme 1. Montrons qu’ils sont
orthogonaux. On a en effet
λμ(
t F )G =
t (MU)(MV ) = (
t U )(
t M )MV = (
t U ) C V = (
t U )μV = μ(
t U )V = 0 ,
car U et V sont orthogonaux.
Le plan engendré par les vecteurs F et G s’appelle le second plan factoriel. Les vecteurs (F, G) forment une base orthonormée du second plan factoriel.
Pour analyser les caractères D 1 , . . . , D p , projetons-les dans le second plan factoriel.
Le projeté D
k de D k a pour coordonnées dans la base (F, G) les produits scalaires
(
t D k )F ,(
t D k )G
, c’est-à-dire la k-ième ligne de la matrice (
t M )[ F G ] qui a p lignes
et deux colonnes. On a (
t M )F = 1
√
λ
(
t M )MU = 1
√
λ
λU =
√
λU , d’où le résultat suivant.
Si U =
⎡
⎣
u 1
. . .
u p
⎤
⎦ et V =
⎡
⎣
v 1
. . .
v p
⎤
⎦ , le vecteur-caractère D k se projette au point D
k
de coordonnées (
√
λ u k ,
√
μ v k ) dans la base (F, G).
234 – APPLICATION `
A L’ANALYSE DE DONN ´
EES
A(0,85)
C(0,68)
D(0,92)
E(0,9)
F 1
F 2
U
V
O
premier plan factoriel
La figure ci-contre montre dans le pan U,V les projetés de quelques individus ; le nombre
entre parenthèses est la qualité de représentation. Les points A,D,E sont de bonne qualité :
leur distance à l’origine et leurs distances mutuelles traduisent fidèlement celles des individus correspondants.
L’individu qui se projette en A a un profil voisin de
U et celui qui se projette en E a un profil voisin de
V . L’individu qui se projette en D est composé de −U
à 64% et de V à 36%. La projection C , de qualité
moyenne, n’est guère significative en l’absence d’autres
renseignements. Il en va de même pour le point B qui,
bien que très proche de l’axe V , est de mauvaise qualité.
Projection des caractères : le second plan factoriel
Rappelons que les vecteurs U et V sont des vecteurs propres de norme 1 associés aux
deux plus grandes valeurs propres λ et μ de la matrice des covariances C , avec λ>μ.
Chaque ligne de M est un profil des p caractères. Le caractère fictif U ∈ R
p est
déterminé par les produits scalaires avec ces n profils, c’est-à-dire par le vecteur
MU de coordonnées [a 1 , a 2 , · · · , a n ]. On a
MU
2 =
t (MU)(MU) = (
t U )(
t M )MU = (
t U ) C U = (
t U )λU = λU
2 = λ
donc MU =
√
λ et de même MV =
√
μ. Posons
F = 1
√
λ
MU et G = 1
√ μ
MV .
Les vecteurs F et G appartiennent à R
n et sont de norme 1. Montrons qu’ils sont
orthogonaux. On a en effet
λμ(
t F )G =
t (MU)(MV ) = (
t U )(
t M )MV = (
t U ) C V = (
t U )μV = μ(
t U )V = 0 ,
car U et V sont orthogonaux.
Le plan engendré par les vecteurs F et G s’appelle le second plan factoriel. Les vecteurs (F, G) forment une base orthonormée du second plan factoriel.
Pour analyser les caractères D 1 , . . . , D p , projetons-les dans le second plan factoriel.
Le projeté D
k de D k a pour coordonnées dans la base (F, G) les produits scalaires
(
t D k )F ,(
t D k )G
, c’est-à-dire la k-ième ligne de la matrice (
t M )[ F G ] qui a p lignes
et deux colonnes. On a (
t M )F = 1
√
λ
(
t M )MU = 1
√
λ
λU =
√
λU , d’où le résultat suivant.
Si U =
⎡
⎣
u 1
. . .
u p
⎤
⎦ et V =
⎡
⎣
v 1
. . .
v p
⎤
⎦ , le vecteur-caractère D k se projette au point D
k
de coordonnées (
√
λ u k ,
√
μ v k ) dans la base (F, G).
234 – APPLICATION `
A L’ANALYSE DE DONN ´
EES