base orthonormée de P . Le projeté sur P d’un vecteur Y ∈ R
p est ˆ
Y = aU + bV , où
a = Y · U = (
t Y )U et b = Y · V = (
t Y )V . Formons la matrice [ U V ] qui a p lignes
et deux colonnes. Il vient
M [ U V ] =
⎡
⎢
⎢
⎣
t Y 1
t Y 2
. . .
t Y n
⎤
⎥
⎥
⎦ [ U V ] =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
(
t Y 1 )U (
t Y 1 )V
(
t Y 2 )U (
t Y 2 )V
. . .
. . .
(
t Y n )U (
t Y n )V
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1 b 1
a 2 b 2
. . .
. . .
a n b n
⎤
⎥
⎥
⎦
Dans la base (U, V ), l’individu-projeté ˆ
Y i a pour coordonnées (a i , b i ).
La i-ième ligne de la matrice M [ U V ] est formée des coordonnées du projeté du
i-ième individu dans la base orthonormée (U, V ) du premier plan factoriel.
Interprétation de la représentation
Dans le premier plan factoriel, les projetés ˆ
Y 1 , ˆ
Y 2 , . . . ˆ
Y n des individus forment un
nuage : l’analyse de données consiste à découvrir des ressemblances ou des oppositions
entre individus en observant la disposition de leurs projetés dans le plan factoriel.
Qualité de la représentation
® Pour que la représentation plane soit exploitable, les valeurs propres λ et μ relatives aux composantes principales doivent être assez grandes par rapport à la
somme p des valeurs propres : autrement dit, les poids λ/p et μ/p doivent être
suffisamment grands.
® Des individus très éloignés peuvent avoir des projetés voisins. C’est pourquoi l’on
introduit, pour chaque individu, un indice de qualité de sa représentation en projection. La qualité de représentation d’un individu Y i est ˆ
Y i
2 /Y i = (cos θ)
2 , où θ
est l’écart angulaire entre le vecteur Y i et son projeté dans le plan de représentation.
Si un individu a une qualité de représentation proche de 1, il est proche du plan
de représentation et sa distance à l’origine est à peu près la même dans le nuage
projeté et dans le nuage initial. De même, la distance entre deux points projetés ne
traduit bien leur distance réelle que si leur qualité de représentation est assez grande.
Puisque la dissemblance entre deux individus Y i et Y j se mesure par leur distance
euclidienne Y i −Y j , la ressemblance ou la dissemblance entre individus de bonne
qualité se lit dans le premier plan factoriel.
® Chacun des vecteurs U et V s’interprète comme une combinaisons de caractères :
si par exemple les coordonnées de U sont [u 1 , u 2 , . . . , u p ], ce vecteur représente
un « caractère fictif » ayant un taux de corrélation u 1 avec le premier caractère, u 2
avec le deuxième, u k avec le k-ième. Un des objectifs de l’analyse est d’interpréter
U et V au moyen des caractères définis initialement.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 233
p est ˆ
Y = aU + bV , où
a = Y · U = (
t Y )U et b = Y · V = (
t Y )V . Formons la matrice [ U V ] qui a p lignes
et deux colonnes. Il vient
M [ U V ] =
⎡
⎢
⎢
⎣
t Y 1
t Y 2
. . .
t Y n
⎤
⎥
⎥
⎦ [ U V ] =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
(
t Y 1 )U (
t Y 1 )V
(
t Y 2 )U (
t Y 2 )V
. . .
. . .
(
t Y n )U (
t Y n )V
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1 b 1
a 2 b 2
. . .
. . .
a n b n
⎤
⎥
⎥
⎦
Dans la base (U, V ), l’individu-projeté ˆ
Y i a pour coordonnées (a i , b i ).
La i-ième ligne de la matrice M [ U V ] est formée des coordonnées du projeté du
i-ième individu dans la base orthonormée (U, V ) du premier plan factoriel.
Interprétation de la représentation
Dans le premier plan factoriel, les projetés ˆ
Y 1 , ˆ
Y 2 , . . . ˆ
Y n des individus forment un
nuage : l’analyse de données consiste à découvrir des ressemblances ou des oppositions
entre individus en observant la disposition de leurs projetés dans le plan factoriel.
Qualité de la représentation
® Pour que la représentation plane soit exploitable, les valeurs propres λ et μ relatives aux composantes principales doivent être assez grandes par rapport à la
somme p des valeurs propres : autrement dit, les poids λ/p et μ/p doivent être
suffisamment grands.
® Des individus très éloignés peuvent avoir des projetés voisins. C’est pourquoi l’on
introduit, pour chaque individu, un indice de qualité de sa représentation en projection. La qualité de représentation d’un individu Y i est ˆ
Y i
2 /Y i = (cos θ)
2 , où θ
est l’écart angulaire entre le vecteur Y i et son projeté dans le plan de représentation.
Si un individu a une qualité de représentation proche de 1, il est proche du plan
de représentation et sa distance à l’origine est à peu près la même dans le nuage
projeté et dans le nuage initial. De même, la distance entre deux points projetés ne
traduit bien leur distance réelle que si leur qualité de représentation est assez grande.
Puisque la dissemblance entre deux individus Y i et Y j se mesure par leur distance
euclidienne Y i −Y j , la ressemblance ou la dissemblance entre individus de bonne
qualité se lit dans le premier plan factoriel.
® Chacun des vecteurs U et V s’interprète comme une combinaisons de caractères :
si par exemple les coordonnées de U sont [u 1 , u 2 , . . . , u p ], ce vecteur représente
un « caractère fictif » ayant un taux de corrélation u 1 avec le premier caractère, u 2
avec le deuxième, u k avec le k-ième. Un des objectifs de l’analyse est d’interpréter
U et V au moyen des caractères définis initialement.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 233