Pour calculer I yy , il suffit d’échanger les rôles de a et b : I yy = ma
3 b
12
. Enfin, on a
I xy = m
b
0
y
a−(a/b)y
0
x dx
dy = m
b
0
y 1
2
a−
ay
b
2
dy = ma
2 b
2
24
,
et I zz = I yy + I xx =
mab(a
2 + b
2 )
12
.
La matrice d’inertie en O est donc J(O) = mab
24
2b
2
−ab
0
−ab 2a
2
0
0
0 2a
2 + 2b
2
. Le vecteur
→
k
est propre, ainsi que les vecteurs du plan xOy de pente (1/τ )
τ
2
− 1 ±
√
1 − τ 2 + τ 4
,
où τ = b/a : ce sont les directions, deux à deux orthogonales, des axes principaux
d’inertie au point O. Si la plaque est isocèle (τ = 1), la bissectrice issue de O est
axe de symétrie : c’est bien un axe principal d’inertie.
3.3 Rotations
E
P
M
H
D
K
O
→
v
→
n
θ
M
Dans l’espace euclidien E , donnons-nous un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine
O et une droite D passant par O, dirigée par le vecteur unitaire
→
n = a
→
i +b
→
j +c
→
k (donc a
2 + b
2 + c
2 = 1).
Pour tout point M ∈ E , notons H le projeté de M sur D et K
le projeté de M sur le plan orthogonal à D et passant par O.
Le vecteur
→
v =
→
n ∧
− − − − − − →
OK est orthogonal à
→
n et à
− − − − − − →
OK . Comme
on a
→
v =
→
n
− − − − − − →
OK =
− − − − − − →
OK , la rotation d’axe D et
d’angle π/2 transforme
− − − − − − →
OK en
→
v.
Il s’ensuit que la rotation r d’axe D et d’angle θ transforme
− − − − − − →
OK en (cosθ)
− − − − − − →
OK+(sinθ)
→
v.
En posant M
= r(M ), on a donc
(∗)
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − →
OH + (cos θ)
− − − − − − →
OK +(sin θ)
→
v .
Notons (x,y,z) les coordonnées de M dans le repère (O;
→
i,
→
j,
→
k) et posons X =
x
y
z
.
® Les coordonnées de
− − − − − − →
OH = (
− − − − − − − →
OM ·
→
n)
→
n sont
(ax + by + cz)
a
b
c
=
a
2 ab ac
ba b
2 bc
ca cb c
2
x
y
z
= P D X .
® Les coordonnées de
− − − − − − →
OK =
− − − − − − − →
OM −
− − − − − − →
OH sont
x
y
z
− P D
x
y
z
= (I 3 − P D )X .
® Puisque
− − − − − − →
OH est colinéaire à
→
n, on a
→
n ∧
− − − − − − →
OH = 0, donc
→
v =
→
n ∧
− − − − − − →
OK =
→
n ∧
− − − − − − − →
OM
et les coordonnées de
→
v sont
bz − cy
cx − az
ay − bx
=
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
x
y
z
= V X .
228 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE
3 b
12
. Enfin, on a
I xy = m
b
0
y
a−(a/b)y
0
x dx
dy = m
b
0
y 1
2
a−
ay
b
2
dy = ma
2 b
2
24
,
et I zz = I yy + I xx =
mab(a
2 + b
2 )
12
.
La matrice d’inertie en O est donc J(O) = mab
24
2b
2
−ab
0
−ab 2a
2
0
0
0 2a
2 + 2b
2
. Le vecteur
→
k
est propre, ainsi que les vecteurs du plan xOy de pente (1/τ )
τ
2
− 1 ±
√
1 − τ 2 + τ 4
,
où τ = b/a : ce sont les directions, deux à deux orthogonales, des axes principaux
d’inertie au point O. Si la plaque est isocèle (τ = 1), la bissectrice issue de O est
axe de symétrie : c’est bien un axe principal d’inertie.
3.3 Rotations
E
P
M
H
D
K
O
→
v
→
n
θ
M
Dans l’espace euclidien E , donnons-nous un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine
O et une droite D passant par O, dirigée par le vecteur unitaire
→
n = a
→
i +b
→
j +c
→
k (donc a
2 + b
2 + c
2 = 1).
Pour tout point M ∈ E , notons H le projeté de M sur D et K
le projeté de M sur le plan orthogonal à D et passant par O.
Le vecteur
→
v =
→
n ∧
− − − − − − →
OK est orthogonal à
→
n et à
− − − − − − →
OK . Comme
on a
→
v =
→
n
− − − − − − →
OK =
− − − − − − →
OK , la rotation d’axe D et
d’angle π/2 transforme
− − − − − − →
OK en
→
v.
Il s’ensuit que la rotation r d’axe D et d’angle θ transforme
− − − − − − →
OK en (cosθ)
− − − − − − →
OK+(sinθ)
→
v.
En posant M
= r(M ), on a donc
(∗)
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − →
OH + (cos θ)
− − − − − − →
OK +(sin θ)
→
v .
Notons (x,y,z) les coordonnées de M dans le repère (O;
→
i,
→
j,
→
k) et posons X =
x
y
z
.
® Les coordonnées de
− − − − − − →
OH = (
− − − − − − − →
OM ·
→
n)
→
n sont
(ax + by + cz)
a
b
c
=
a
2 ab ac
ba b
2 bc
ca cb c
2
x
y
z
= P D X .
® Les coordonnées de
− − − − − − →
OK =
− − − − − − − →
OM −
− − − − − − →
OH sont
x
y
z
− P D
x
y
z
= (I 3 − P D )X .
® Puisque
− − − − − − →
OH est colinéaire à
→
n, on a
→
n ∧
− − − − − − →
OH = 0, donc
→
v =
→
n ∧
− − − − − − →
OK =
→
n ∧
− − − − − − − →
OM
et les coordonnées de
→
v sont
bz − cy
cx − az
ay − bx
=
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
x
y
z
= V X .
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EOM ´
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