Pour un solide (S) en rotation autour de l’axe fixe D, les coordonnées du moment
cinétique au point O (dans un repère d’origine O) sont donc données par
I xx −I xy −I xz
−I yx I yy −I yz
−I zx −I zy I zz
p
q
r
= J(O)
p
q
r
, où
I xx =
S
(y
2 + z
2 ) dm , I yy =
S
(x
2 + z
2 ) dm , I zz =
S
(x
2 + y
2 ) dm
I xy = I yx =
S
xy dm , I xz = I zx =
S
xz dm , I yz = I zy =
S
yz dm
dm étant l’élément de masse infinitésimale placé au point (x, y, z).
La matrice J(O) est la matrice d’inertie de (S) au point O : elle ne dépend que du
solide (S) et du point O. Cette matrice permet de calculer le moment cinétique en O
d’un mouvement de rotation de autour de n’importe quel axe passant par O.
D’après l’égalité ci-dessus, le moment cinétique n’est dans la direction de l’axe que si le
vecteur rotation est un vecteur propre de la matrice d’inertie. Puisque la matrice J(O)
est symétrique, il existe une base orthonormée de vecteurs propres : un axe ayant pour
direction l’un de ces vecteurs s’appelle un axe principal d’inertie du solide au point O.
Les composantes du moment cinétique qui sont transverses à l’axe de rotation sont nuisibles aux grandes vitesses : c’est pourquoi on essaye d’équilibrer les pièces en rotation
rapide pour que l’axe de rotation soit un axe principal d’inertie.
Pour étudier un mouvement de rotation, on a besoin d’un principe de mécanique, le
« théorème du moment cinétique », valable quand le repère et le point O sont fixes :
la d´ eriv´ ee
d
− →
σ O
dt
du moment cin´ etique par rapport au temps est ´ egal ` a M O =
S
− − − →
OM ∧
→
F
,
moment en O des forces ext´ erieures
→
F appliqu´ ees au solide.
Exemple.
P
O
→
i
→
j
a−(a/b)y
b −(b/a)x
x
y
Considérons une plaque homogène P en forme de triangle rectangle
en O. Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O, les vecteurs
→
i et
→
j
étant portés par les petits côtés de la plaque ; le vecteur
→
k
est orthogonal au plan de la plaque. Calculons la matrice
d’inertie de la plaque au point O.
En tout point de la plaque, la coordonnée z est nulle,
donc I xz = I yz = 0 et l’on a simplement I xx =
P
y
2 dm,
I yy =
P
x
2 dm et I zz = I yy + I xx .
Notons a et b les longueurs des petits côtés de la plaque
et m sa masse. Pour y fixé entre 0 et b, l’abscisse x d’un
point de la plaque varie entre 0 et a − (a/b)y, donc
I xx = m
b
0
y
2
a−(a/b)y
0
dx
dy = m
b
0
y
2
a−
ay
b
dy = m
a b
3
3
− a
b
b
4
4
= mab
3
12
.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 227
cinétique au point O (dans un repère d’origine O) sont donc données par
I xx −I xy −I xz
−I yx I yy −I yz
−I zx −I zy I zz
p
q
r
= J(O)
p
q
r
, où
I xx =
S
(y
2 + z
2 ) dm , I yy =
S
(x
2 + z
2 ) dm , I zz =
S
(x
2 + y
2 ) dm
I xy = I yx =
S
xy dm , I xz = I zx =
S
xz dm , I yz = I zy =
S
yz dm
dm étant l’élément de masse infinitésimale placé au point (x, y, z).
La matrice J(O) est la matrice d’inertie de (S) au point O : elle ne dépend que du
solide (S) et du point O. Cette matrice permet de calculer le moment cinétique en O
d’un mouvement de rotation de autour de n’importe quel axe passant par O.
D’après l’égalité ci-dessus, le moment cinétique n’est dans la direction de l’axe que si le
vecteur rotation est un vecteur propre de la matrice d’inertie. Puisque la matrice J(O)
est symétrique, il existe une base orthonormée de vecteurs propres : un axe ayant pour
direction l’un de ces vecteurs s’appelle un axe principal d’inertie du solide au point O.
Les composantes du moment cinétique qui sont transverses à l’axe de rotation sont nuisibles aux grandes vitesses : c’est pourquoi on essaye d’équilibrer les pièces en rotation
rapide pour que l’axe de rotation soit un axe principal d’inertie.
Pour étudier un mouvement de rotation, on a besoin d’un principe de mécanique, le
« théorème du moment cinétique », valable quand le repère et le point O sont fixes :
la d´ eriv´ ee
d
− →
σ O
dt
du moment cin´ etique par rapport au temps est ´ egal ` a M O =
S
− − − →
OM ∧
→
F
,
moment en O des forces ext´ erieures
→
F appliqu´ ees au solide.
Exemple.
P
O
→
i
→
j
a−(a/b)y
b −(b/a)x
x
y
Considérons une plaque homogène P en forme de triangle rectangle
en O. Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O, les vecteurs
→
i et
→
j
étant portés par les petits côtés de la plaque ; le vecteur
→
k
est orthogonal au plan de la plaque. Calculons la matrice
d’inertie de la plaque au point O.
En tout point de la plaque, la coordonnée z est nulle,
donc I xz = I yz = 0 et l’on a simplement I xx =
P
y
2 dm,
I yy =
P
x
2 dm et I zz = I yy + I xx .
Notons a et b les longueurs des petits côtés de la plaque
et m sa masse. Pour y fixé entre 0 et b, l’abscisse x d’un
point de la plaque varie entre 0 et a − (a/b)y, donc
I xx = m
b
0
y
2
a−(a/b)y
0
dx
dy = m
b
0
y
2
a−
ay
b
dy = m
a b
3
3
− a
b
b
4
4
= mab
3
12
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Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 227