le volume du parallélépipède, il faut multiplier l’aire du parallélogramme par la hauteur
AK . Puisque AK =
− − →
AD ·
→
u
, ce volume est
λ
AK =
λ
→
u ·
− − →
AD
=
(
− − →
AB ∧
− − →
AC) ·
− − →
AD
.
Si U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
et U − − − − →
AD
sont les vecteurs-colonne des coordonnées de
− − − − − →
AB,
− − − − − →
AC ,
− − − − − −
→
AD
dans une base orthonormée, on a donc
volume de (Π) =
(
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC) ·
− − − − − −
→
AD
=
det(U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
, U − − − − →
AD
)
.
On en déduit une autre expression de la distance d’un point D à un plan :
distance de D au plan (ABC) =
det(U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
, U − − − − →
AD
)
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC
.
Mouvement de rotation autour d'un axe
Si
− →
w ∈ E est un vecteur de norme 1, on peut trouver des vecteurs
→
u et
→
v tels que
(
→
u,
→
v,
− →
w) est une base orthonormée directe de E .
En effet, si P est le plan orthogonal à
→
w, alors pour toute base orthonormée (
→
u,
→
v) de P ,
→
u ∧
→
v
est de norme 1 et colinéaire à
→
w, donc on a
→
u∧
→
v =±
→
w. Puisque
→
u∧
→
v =−
→
v ∧
→
u, il suffit de mettre
les vecteurs dans le bon ordre pour obtenir une base orthonormée (
→
u,
→
v) de P telle que
→
u∧
→
v =
→
w.
P
→
→
u
→
v
Ω
D
O
V M
M
Soit D la droite vectorielle engendrée par
− →
w. La donnée du couple (
→
u,
→
v) définit un
sens de rotation autour de D : celui qui amène
→
u sur
→
v.
Pour repérer le sens d’un mouvement de rotation autour
de D, il suffit donc de se donner le vecteur
− →
w.
Le vecteur rotation du mouvement est par définition le
vecteur
− →
Ω = ω
− →
w, où ω > 0 est la vitesse angulaire ; le
vecteur
− →
Ω contient toutes les informations sur le mouvement : son sens indique à la fois l’axe et le sens de rotation, sa norme ω donne la
vitesse de rotation.
Soit M un point de E en rotation autour de D et soit O un point de D.
® Le vecteur vitesse de M est
− − − − − →
V M =
− →
Ω ∧
− − − − − − − →
OM ;
® si M est un point pesant de masse m, le moment cinétique de M en O est le
vecteur
− − − − →
σ O =
− − − − − − − →
OM ∧ m
− − − − − →
V M .
Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O, appelons (p, q, r) les coordonnées de
− →
Ω et (x, y, z) celles de
− − − − − − − →
OM . Les coordonnées du vecteur
− − − − − →
V M sont
v x = qz − ry, v y = rx − pz, v z = py − qx et les coordonnées de
− − − − →
σ O sont
⎡
⎣
m(yv z − zv y )
m(zv x − xv z )
m(xv y − yv x )
⎤
⎦ =
⎡
⎣
m(y
2 + z
2 )p − (mxy)q − (mxz)r
−(mxy)p + m(x
2 + z
2 )q − (myz)r
−(mxz)p − (myz)q + m(x
2 + y
2 )r
⎤
⎦
=
⎡
⎣
m(y
2 + z
2 ) −mxy
−mxz
−mxy m(x
2 + z
2 ) −myz
−mxz
−myz
m(x
2 + y
2 )
⎤
⎦
p
q
r
226 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE
AK . Puisque AK =
− − →
AD ·
→
u
, ce volume est
λ
AK =
λ
→
u ·
− − →
AD
=
(
− − →
AB ∧
− − →
AC) ·
− − →
AD
.
Si U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
et U − − − − →
AD
sont les vecteurs-colonne des coordonnées de
− − − − − →
AB,
− − − − − →
AC ,
− − − − − −
→
AD
dans une base orthonormée, on a donc
volume de (Π) =
(
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC) ·
− − − − − −
→
AD
=
det(U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
, U − − − − →
AD
)
.
On en déduit une autre expression de la distance d’un point D à un plan :
distance de D au plan (ABC) =
det(U − − − − →
AB
, U − − − − →
AC
, U − − − − →
AD
)
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC
.
Mouvement de rotation autour d'un axe
Si
− →
w ∈ E est un vecteur de norme 1, on peut trouver des vecteurs
→
u et
→
v tels que
(
→
u,
→
v,
− →
w) est une base orthonormée directe de E .
En effet, si P est le plan orthogonal à
→
w, alors pour toute base orthonormée (
→
u,
→
v) de P ,
→
u ∧
→
v
est de norme 1 et colinéaire à
→
w, donc on a
→
u∧
→
v =±
→
w. Puisque
→
u∧
→
v =−
→
v ∧
→
u, il suffit de mettre
les vecteurs dans le bon ordre pour obtenir une base orthonormée (
→
u,
→
v) de P telle que
→
u∧
→
v =
→
w.
P
→
→
u
→
v
Ω
D
O
V M
M
Soit D la droite vectorielle engendrée par
− →
w. La donnée du couple (
→
u,
→
v) définit un
sens de rotation autour de D : celui qui amène
→
u sur
→
v.
Pour repérer le sens d’un mouvement de rotation autour
de D, il suffit donc de se donner le vecteur
− →
w.
Le vecteur rotation du mouvement est par définition le
vecteur
− →
Ω = ω
− →
w, où ω > 0 est la vitesse angulaire ; le
vecteur
− →
Ω contient toutes les informations sur le mouvement : son sens indique à la fois l’axe et le sens de rotation, sa norme ω donne la
vitesse de rotation.
Soit M un point de E en rotation autour de D et soit O un point de D.
® Le vecteur vitesse de M est
− − − − − →
V M =
− →
Ω ∧
− − − − − − − →
OM ;
® si M est un point pesant de masse m, le moment cinétique de M en O est le
vecteur
− − − − →
σ O =
− − − − − − − →
OM ∧ m
− − − − − →
V M .
Choisissons un repère orthonormé (O;
→
i,
→
j,
→
k) d’origine O, appelons (p, q, r) les coordonnées de
− →
Ω et (x, y, z) celles de
− − − − − − − →
OM . Les coordonnées du vecteur
− − − − − →
V M sont
v x = qz − ry, v y = rx − pz, v z = py − qx et les coordonnées de
− − − − →
σ O sont
⎡
⎣
m(yv z − zv y )
m(zv x − xv z )
m(xv y − yv x )
⎤
⎦ =
⎡
⎣
m(y
2 + z
2 )p − (mxy)q − (mxz)r
−(mxy)p + m(x
2 + z
2 )q − (myz)r
−(mxz)p − (myz)q + m(x
2 + y
2 )r
⎤
⎦
=
⎡
⎣
m(y
2 + z
2 ) −mxy
−mxz
−mxy m(x
2 + z
2 ) −myz
−mxz
−myz
m(x
2 + y
2 )
⎤
⎦
p
q
r
226 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE