(2) u ∧ (v ∧ w) = (u · w)v − (u · v)w (formule du double produit vectoriel)
Démonstration de (1). Si u et v sont colinéaires, alors u ∧ v est nul et la première formule
est le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Supposons u et v orthogonaux et
non nuls et posons u = uf 1 , v = vf 2 . Puisque f 1 et f 2 sont orthogonaux et de norme
1, on peut choisir un vecteur f 3 tel que B
= (f 1 , f 2 , f 3 ) soit une base orthonormée directe de E . Les coordonnées de u et v dans cette base sont (u, 0, 0) et (0, v, 0), donc
u ∧ v =
u 0
0 v
f 3 = u vf 3 . Le produit scalaire u · v étant nul, la formule (1) est vraie
dans ce cas. Dans le cas général de deux vecteurs u et v indépendants, il y a un nombre
réel λ tel que v
= v − λu soit orthogonal à u (procédé de Gram-Schmidt, page 206). On a
u∧v
=u∧v−u∧(λu)=u∧v, v
2 =v
+λu
2 =v
2 +λ
2
u
2 et u·v=u·v
+λu
2 =λu
2 , donc
u ∧ v
2 = u ∧ v
2 = u
2 v
2 , car v
est orthogonal à u
= u
2
v
2 − λ
2 u
2
= u
2 v
2 − (u · v)
2 .
La première formule permet de calculer la norme d’un produit vectoriel. Si u et v
sont des vecteurs non nuls, alors d’après cette formule, il existe un unique nombre
réel θ ∈ [0, π] tel que u ∧ v = u v sin θ et u · v = u v cos θ.
Définition
Le nombre θ ∈ [0, π] tel que u ∧ v = u v sin θ et u · v = u v cos θ s’appelle
l’écart angulaire des vecteurs u et v.
Exemples d'utilisation du produit vectoriel
Aire d'un parallélogramme
A
B
C
H
(P )
Soient A,B,C trois points non alignés d’un plan euclidien inclus dans E . Construisons le parallélogramme
(P ) sur ces trois points.
Projetons C en H sur la droite orthogonale à
− − →
AB
menée par A. L’aire de (P ) est le produit des longueurs AB AH .
Puisque les vecteurs
− − →
AB et
− − →
AH sont orthogonaux, on a
− − →
AB
− − →
AH =
− − →
AB ∧
− − →
AH .
Or
− − →
AB ∧
− − →
AH =
− − →
AB ∧
− − →
AC +
− − →
AB ∧
− − →
CH et
− − →
AB ∧
− − →
CH = 0 car
− − →
CH est colinéaire à
− − →
AB .
On en déduit que
l’aire du parallélogramme (P ) est
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC .
Volume d'un parallélépipède
A
B
C
D
K
→
u
(P )
(Π)
Soit (Π) le parallélépipède construit avec le parallélogramme (P ) et le point D de l’espace.
Projetons D en K sur la droite passant par A et
orthogonale au plan de (P ) ; choisissons un vecteur directeur
→
u de cette droite tel que
→
u = 1.
Les vecteurs
− − →
AB ∧
− − →
AC et
→
u, tous deux orthogonaux au plan ABC , sont colinéaires : on
a
− − →
AB ∧
− − →
AC = λ
→
u, donc |λ| =
− − →
AB ∧
− − →
AC est l’aire du parallélogramme (P ). Pour avoir
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 225
Démonstration de (1). Si u et v sont colinéaires, alors u ∧ v est nul et la première formule
est le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Supposons u et v orthogonaux et
non nuls et posons u = uf 1 , v = vf 2 . Puisque f 1 et f 2 sont orthogonaux et de norme
1, on peut choisir un vecteur f 3 tel que B
= (f 1 , f 2 , f 3 ) soit une base orthonormée directe de E . Les coordonnées de u et v dans cette base sont (u, 0, 0) et (0, v, 0), donc
u ∧ v =
u 0
0 v
f 3 = u vf 3 . Le produit scalaire u · v étant nul, la formule (1) est vraie
dans ce cas. Dans le cas général de deux vecteurs u et v indépendants, il y a un nombre
réel λ tel que v
= v − λu soit orthogonal à u (procédé de Gram-Schmidt, page 206). On a
u∧v
=u∧v−u∧(λu)=u∧v, v
2 =v
+λu
2 =v
2 +λ
2
u
2 et u·v=u·v
+λu
2 =λu
2 , donc
u ∧ v
2 = u ∧ v
2 = u
2 v
2 , car v
est orthogonal à u
= u
2
v
2 − λ
2 u
2
= u
2 v
2 − (u · v)
2 .
La première formule permet de calculer la norme d’un produit vectoriel. Si u et v
sont des vecteurs non nuls, alors d’après cette formule, il existe un unique nombre
réel θ ∈ [0, π] tel que u ∧ v = u v sin θ et u · v = u v cos θ.
Définition
Le nombre θ ∈ [0, π] tel que u ∧ v = u v sin θ et u · v = u v cos θ s’appelle
l’écart angulaire des vecteurs u et v.
Exemples d'utilisation du produit vectoriel
Aire d'un parallélogramme
A
B
C
H
(P )
Soient A,B,C trois points non alignés d’un plan euclidien inclus dans E . Construisons le parallélogramme
(P ) sur ces trois points.
Projetons C en H sur la droite orthogonale à
− − →
AB
menée par A. L’aire de (P ) est le produit des longueurs AB AH .
Puisque les vecteurs
− − →
AB et
− − →
AH sont orthogonaux, on a
− − →
AB
− − →
AH =
− − →
AB ∧
− − →
AH .
Or
− − →
AB ∧
− − →
AH =
− − →
AB ∧
− − →
AC +
− − →
AB ∧
− − →
CH et
− − →
AB ∧
− − →
CH = 0 car
− − →
CH est colinéaire à
− − →
AB .
On en déduit que
l’aire du parallélogramme (P ) est
− − − − − →
AB ∧
− − − − − →
AC .
Volume d'un parallélépipède
A
B
C
D
K
→
u
(P )
(Π)
Soit (Π) le parallélépipède construit avec le parallélogramme (P ) et le point D de l’espace.
Projetons D en K sur la droite passant par A et
orthogonale au plan de (P ) ; choisissons un vecteur directeur
→
u de cette droite tel que
→
u = 1.
Les vecteurs
− − →
AB ∧
− − →
AC et
→
u, tous deux orthogonaux au plan ABC , sont colinéaires : on
a
− − →
AB ∧
− − →
AC = λ
→
u, donc |λ| =
− − →
AB ∧
− − →
AC est l’aire du parallélogramme (P ). Pour avoir
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 225