Propriétés du produit vectoriel. Soient u et u
des vecteurs de E .
i) Le produit vectoriel est antisymétrique et linéaire par rapport à chaque variable :
u ∧ u
= −(u
∧ u)
(u 1 + u 2 ) ∧ u
= u 1 ∧ u
+ u 2 ∧ u
et (λu) ∧ u
= λ(u ∧ u
)
u ∧ (u
1 + u
2 ) = u ∧ u
1 + u ∧ u
2 et u ∧ (λu
1 ) = λ(u ∧ u
1 ).
ii) Le vecteur u ∧ u
est orthogonal à u et à u
.
iii) u ∧ u
est nul si et seulement si les vecteurs u et u
sont colinéaires.
iv) Dans toute base orthonormée directe, les coordonnées de u ∧ u
sont données par la formule
de la définition.
v) Si u et u
sont orthogonaux et de norme 1, alors (u, u
, u ∧ u
) est une base orthonormée
directe de E .
Démonstration. Les propriétés (i) se voient sur la définition du produit vectoriel en utilisant la linéarité et l’antisymétrie des déterminants. On a (u ∧ u
) · u = det(U, U
, U) = 0, donc
u ∧ u
est orthogonal à u ; de même, u ∧ u
est orthogonal à u
. En appliquant la formule
u ∧ u
= −u
∧ u à u = u
, on obtient u ∧ u = 0. On en déduit que si u et u
sont colinéaires,
alors u ∧ u
est nul. Si u et u
sont indépendants, on peut trouver un vecteur w tel que u,u
,w
soit une base de E (théorème de la base incomplète) ; alors (u ∧ u
) · w = det(U, U
, W ) n’est
pas nul, donc u ∧ u
n’est pas le vecteur nul.
Soit B 1 une base orthonormée directe de E . La matrice de changement de base de B
vers B 1 est une matrice P orthogonale. Avec les notations précédentes, les coordonnées de
u, u
, w dans la base B 1 sont les vecteurs-colonne U 1 , U
1 , W 1 tels que U = P U 1 , U
= P U
1 ,
W = P W 1 . On a l’égalité matricielle [ U U
W ] = [ P U 1 P U
1 P W 1 ] = P [ U 1 U
1 W 1 ]. Comme
le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants, on en déduit
det(U, U
, W ) = (det P ) det(U 1 , U
1 , W 1 ) = det(U 1 , U
1 , W 1 ), car la base B 1 étant directe, le
déterminant de P vaut 1. Si l’on prend pour w les vecteurs de B , ces déterminants sont les
coordonnées de u ∧ u
dans B et B 1 respectivement : les coordonnées du vecteur u ∧ u
sont
donc données par les mêmes formules, que l’on calcule dans la base B ou dans la base B 1 .
Il reste à montrer la dernière affirmation. Supposons u et u
orthogonaux et de norme 1. Soit
w le vecteur tel que B
= (u, u
, w) est une base orthonormée directe. Dans cette base, les
coordonnées de u sont (1, 0, 0), celles de u
sont (0, 1, 0), donc celles u ∧ u
sont (0, 0, 1) :
c’est donc que l’on a u ∧ u
= w.
Produit mixte. Un déterminant d’ordre 3 ne change pas si l’on permute circulairement ses colonnes : en effet, une permutation circulaire des trois colonnes se compose
de deux échanges et pour chaque échange, le déterminant change de signe. Puisque
le produit scalaire (u 1 ∧ u 2 ) · u 3 est le déterminant des coordonnées de u 1 , u 2 , u 3 dans
une base orthonormée, on en déduit les égalités
(u 1 ∧ u 2 ) · u 3 = (u 3 ∧ u 1 ) · u 2 = (u 2 ∧ u 3 ) · u 1
Le nombre (u 1 ∧ u 2 ) · u 3 s’appelle le produit mixte des vecteurs u 1 , u 2 , u 3 .
Formulaire
(1) u ∧ v
2 + (u · v)
2 = u
2
v
2 .
224 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE
des vecteurs de E .
i) Le produit vectoriel est antisymétrique et linéaire par rapport à chaque variable :
u ∧ u
= −(u
∧ u)
(u 1 + u 2 ) ∧ u
= u 1 ∧ u
+ u 2 ∧ u
et (λu) ∧ u
= λ(u ∧ u
)
u ∧ (u
1 + u
2 ) = u ∧ u
1 + u ∧ u
2 et u ∧ (λu
1 ) = λ(u ∧ u
1 ).
ii) Le vecteur u ∧ u
est orthogonal à u et à u
.
iii) u ∧ u
est nul si et seulement si les vecteurs u et u
sont colinéaires.
iv) Dans toute base orthonormée directe, les coordonnées de u ∧ u
sont données par la formule
de la définition.
v) Si u et u
sont orthogonaux et de norme 1, alors (u, u
, u ∧ u
) est une base orthonormée
directe de E .
Démonstration. Les propriétés (i) se voient sur la définition du produit vectoriel en utilisant la linéarité et l’antisymétrie des déterminants. On a (u ∧ u
) · u = det(U, U
, U) = 0, donc
u ∧ u
est orthogonal à u ; de même, u ∧ u
est orthogonal à u
. En appliquant la formule
u ∧ u
= −u
∧ u à u = u
, on obtient u ∧ u = 0. On en déduit que si u et u
sont colinéaires,
alors u ∧ u
est nul. Si u et u
sont indépendants, on peut trouver un vecteur w tel que u,u
,w
soit une base de E (théorème de la base incomplète) ; alors (u ∧ u
) · w = det(U, U
, W ) n’est
pas nul, donc u ∧ u
n’est pas le vecteur nul.
Soit B 1 une base orthonormée directe de E . La matrice de changement de base de B
vers B 1 est une matrice P orthogonale. Avec les notations précédentes, les coordonnées de
u, u
, w dans la base B 1 sont les vecteurs-colonne U 1 , U
1 , W 1 tels que U = P U 1 , U
= P U
1 ,
W = P W 1 . On a l’égalité matricielle [ U U
W ] = [ P U 1 P U
1 P W 1 ] = P [ U 1 U
1 W 1 ]. Comme
le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants, on en déduit
det(U, U
, W ) = (det P ) det(U 1 , U
1 , W 1 ) = det(U 1 , U
1 , W 1 ), car la base B 1 étant directe, le
déterminant de P vaut 1. Si l’on prend pour w les vecteurs de B , ces déterminants sont les
coordonnées de u ∧ u
dans B et B 1 respectivement : les coordonnées du vecteur u ∧ u
sont
donc données par les mêmes formules, que l’on calcule dans la base B ou dans la base B 1 .
Il reste à montrer la dernière affirmation. Supposons u et u
orthogonaux et de norme 1. Soit
w le vecteur tel que B
= (u, u
, w) est une base orthonormée directe. Dans cette base, les
coordonnées de u sont (1, 0, 0), celles de u
sont (0, 1, 0), donc celles u ∧ u
sont (0, 0, 1) :
c’est donc que l’on a u ∧ u
= w.
Produit mixte. Un déterminant d’ordre 3 ne change pas si l’on permute circulairement ses colonnes : en effet, une permutation circulaire des trois colonnes se compose
de deux échanges et pour chaque échange, le déterminant change de signe. Puisque
le produit scalaire (u 1 ∧ u 2 ) · u 3 est le déterminant des coordonnées de u 1 , u 2 , u 3 dans
une base orthonormée, on en déduit les égalités
(u 1 ∧ u 2 ) · u 3 = (u 3 ∧ u 1 ) · u 2 = (u 2 ∧ u 3 ) · u 1
Le nombre (u 1 ∧ u 2 ) · u 3 s’appelle le produit mixte des vecteurs u 1 , u 2 , u 3 .
Formulaire
(1) u ∧ v
2 + (u · v)
2 = u
2
v
2 .
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EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE