Bases orthonormées directes
Soient u 1 ,u 2 ,u 3 des vecteurs de E et U 1 ,U 2 ,U 3 leurs vecteurs-colonne de coordonnées
dans la base B .
Les vecteurs u 1 ,u 2 ,u 3 forment une base orthonormée si et seulement si la matrice U =
[ U 1 U 2 U 3 ] est orthogonale. Comme une matrice orthogonale a pour déterminant 1 ou
−1, il y a deux sortes de bases : celles pour lesquelles detU =1 et celles où detU =−1.
Définition
Si U est une matrice orthogonale de déterminant 1, on dit que la base orthonormée
(u 1 , u 2 , u 3 ) de E est directe (relativement à la base B ).
Si l’on se donne deux vecteurs u 1 et u 2 orthogonaux et de norme 1, il y a deux
vecteurs u 3 et u
3 = −u 3 de norme 1 et orthogonaux à u 1 et u 2 : en effet, les vecteurs orthogonaux au plan engendré par u 1 et u 2 forment une droite. Puisqu’on
a det(U 1 , U 2 , −U 3 ) = − det(U 1 , U 2 , U 3 ), l’une des bases orthonormée (u 1 , u 2 , u 3 ) ou
(u 1 , u 2 , −u 3 ) est directe et l’autre ne l’est pas.
e 1
e 2
e 3
v 1
v 2
v 3
u 2
u 1
u 3
Dans l’espace euclidien usuel, on dispose de la base canonique comme base B de
référence. Voici un moyen mécanique pour caractériser les bases
orthonormées directes (u 1 , u 2 , u 3 ) : le vecteur u 3 a le sens de déplacement d’un tire-bouchon posé sur l’axe dirigé par u 3 et que l’on
tourne en allant de u 1 vers u 2 .
Dans la figure, prenons (e 1 , e 2 , e 3 ) comme base de référence :
alors (u 1 , u 2 , u 3 ) est directe et les bases (u 2 , u 1 , u 3 ) et (v 1 , v 2 , v 3 ) sont indirectes.
Définition du produit vectoriel
Rappelons que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base orthonormée de E .
Soient u = pe 1 + qe 2 + re 3 , u
= p
e 1 + q
e 2 + r
e 3 et U , U
les vecteurs-colonne de R
3
correspondants. Pour tout vecteur w = xe 1 + ye 2 + ze 3 , de vecteur-colonne W , on a
det(U, U
, W ) =
p p
x
q q
y
r r
z
=
q q
r r
x −
p p
r r
y +
p p
q q
z .
Définition
Le vecteur
q q
r r
e 1 −
p p
r r
e 2 +
p p
q q
e 3 s’appelle le produit vectoriel de u et u
et se note u ∧ u
.
Pour les vecteurs de la base B , on a ainsi : e 1 ∧ e 2 = e 3 , e 2 ∧ e 3 = e 1 et e 3 ∧ e 1 = e 2 .
Puisque la base B est orthonormée, l’expression ci-dessus de det(U, U
, W ) est le
produit scalaire des vecteurs u ∧ u
et w.
(u ∧ u
) · w = det(U, U
, W ) pour tous vecteurs u, v, w de
coordonnées U, V, W dans une base orthonormée.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 223
Soient u 1 ,u 2 ,u 3 des vecteurs de E et U 1 ,U 2 ,U 3 leurs vecteurs-colonne de coordonnées
dans la base B .
Les vecteurs u 1 ,u 2 ,u 3 forment une base orthonormée si et seulement si la matrice U =
[ U 1 U 2 U 3 ] est orthogonale. Comme une matrice orthogonale a pour déterminant 1 ou
−1, il y a deux sortes de bases : celles pour lesquelles detU =1 et celles où detU =−1.
Définition
Si U est une matrice orthogonale de déterminant 1, on dit que la base orthonormée
(u 1 , u 2 , u 3 ) de E est directe (relativement à la base B ).
Si l’on se donne deux vecteurs u 1 et u 2 orthogonaux et de norme 1, il y a deux
vecteurs u 3 et u
3 = −u 3 de norme 1 et orthogonaux à u 1 et u 2 : en effet, les vecteurs orthogonaux au plan engendré par u 1 et u 2 forment une droite. Puisqu’on
a det(U 1 , U 2 , −U 3 ) = − det(U 1 , U 2 , U 3 ), l’une des bases orthonormée (u 1 , u 2 , u 3 ) ou
(u 1 , u 2 , −u 3 ) est directe et l’autre ne l’est pas.
e 1
e 2
e 3
v 1
v 2
v 3
u 2
u 1
u 3
Dans l’espace euclidien usuel, on dispose de la base canonique comme base B de
référence. Voici un moyen mécanique pour caractériser les bases
orthonormées directes (u 1 , u 2 , u 3 ) : le vecteur u 3 a le sens de déplacement d’un tire-bouchon posé sur l’axe dirigé par u 3 et que l’on
tourne en allant de u 1 vers u 2 .
Dans la figure, prenons (e 1 , e 2 , e 3 ) comme base de référence :
alors (u 1 , u 2 , u 3 ) est directe et les bases (u 2 , u 1 , u 3 ) et (v 1 , v 2 , v 3 ) sont indirectes.
Définition du produit vectoriel
Rappelons que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base orthonormée de E .
Soient u = pe 1 + qe 2 + re 3 , u
= p
e 1 + q
e 2 + r
e 3 et U , U
les vecteurs-colonne de R
3
correspondants. Pour tout vecteur w = xe 1 + ye 2 + ze 3 , de vecteur-colonne W , on a
det(U, U
, W ) =
p p
x
q q
y
r r
z
=
q q
r r
x −
p p
r r
y +
p p
q q
z .
Définition
Le vecteur
q q
r r
e 1 −
p p
r r
e 2 +
p p
q q
e 3 s’appelle le produit vectoriel de u et u
et se note u ∧ u
.
Pour les vecteurs de la base B , on a ainsi : e 1 ∧ e 2 = e 3 , e 2 ∧ e 3 = e 1 et e 3 ∧ e 1 = e 2 .
Puisque la base B est orthonormée, l’expression ci-dessus de det(U, U
, W ) est le
produit scalaire des vecteurs u ∧ u
et w.
(u ∧ u
) · w = det(U, U
, W ) pour tous vecteurs u, v, w de
coordonnées U, V, W dans une base orthonormée.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 223