(x M − x A )a + (y M − y A )b + (z M − z A )c = x M a + y M b + z M c + d, car d = −ax A − bx A − cx A .
La distance de M à P est donc
− − →
AM ·
→
n
→
n
=
|ax M + by M + cz M c + d|
√
a 2 + b 2 + c 2
.
Symétrie par rapport à un plan. Donnons-nous un plan P par son équation
ax+by+cz +d=0 dans un repère orthonormé de E , où nous supposons a
2 +b
2 +c
2 =1
(on dit que l’équation est « normale »). Le vecteur
→
n de coordonnées (a, b, c) est
orthogonal à P et de norme 1. Soit M un point de coordonnées (x, y, z). Si A est
un point de P , le symétrique M
de M est défini par
(∗)
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM − 2
− − − − − − →
AH =
− − − − − − − →
AM − 2(
− − − − − − − →
AM ·
→
n)
→
n
On a aussi (voir la figure précédente)
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − →
AK −
− − − − − − →
AH et
− − − − − − − →
AM =
− − − − − − →
AK +
− − − − − − →
AH , donc
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM , car les vecteurs
− − − − − − →
AK et
− − − − − − →
AH sont orthogonaux.
Si (p, q, r) sont les coordonnées de
− − − − − − − →
AM , alors d’après (∗), celles de
− − − − − − − − →
AM
sont
p
q
r
−2(ap+bq+cr)
a
b
c
=
⎡
⎣
(1−2a
2 )p−2abq−2acr
−2abp + (1−2b
2 )q−2bcr
−2acp−2bcq + (1−2c
2 )r
⎤
⎦ =
1−2a
2
−2ab −2ac
−2ab 1−2b
2
−2bc
−2ac −2bc 1−2c
2
p
q
r
Prenons pour A le point de coordonnées (−da, −db, −dc) qui est bien dans P ,
puisque ses coordonnées en vérifient l’équation. Les coordonnées (x,y,z) et (x
,y
,z
)
de M et M
sont reliées par la relation
x
+ da
y
+ db
z
+ dc
=
1−2a
2
−2ab −2ac
−2ab 1−2b
2
−2bc
−2ac −2bc 1−2c
2
x + da
y + db
z + dc
= S
x + da
y + db
z + dc
Cas d'un plan passant par l'origine. On a alors d = 0 et P est un plan vectoriel. La symétrie orthogonale par rapport à P est une transformation linéaire s
de E . Le calcul ci-dessus montre que sa matrice S dans une base orthonormée est
symétrique. En appelant O l’origine, on a s(
− − − − − − − →
OM ) =
− − − − − − − − →
OM
et
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − − →
OM : s
est donc une isométrie et la matrice S est aussi orthogonale.
On a s(
→
n) = −
→
n et pour tout vecteur
→
v ∈ P , on a s(
→
v) =
→
v : les vecteurs propres de s
pour la valeur propre 1 sont les vecteurs de P et le vecteur
→
n est propre pour la valeur
propre −1. Si l’on choisit une base quelconque (
→
e,
→
f ) de P , la matrice de s dans la base
(
→
e,
→
f,
→
n) est donc
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
. Sur cette matrice, on voit que le déterminant de s est −1 :
toute matrice d’une symétrie par rapport à un plan est donc aussi de déterminant −1.
3.2 Produit vectoriel
Dans ce paragraphe, on se donne une base orthonormée B = (e 1 , e 2 , e 3 ) de E .
222 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE
La distance de M à P est donc
− − →
AM ·
→
n
→
n
=
|ax M + by M + cz M c + d|
√
a 2 + b 2 + c 2
.
Symétrie par rapport à un plan. Donnons-nous un plan P par son équation
ax+by+cz +d=0 dans un repère orthonormé de E , où nous supposons a
2 +b
2 +c
2 =1
(on dit que l’équation est « normale »). Le vecteur
→
n de coordonnées (a, b, c) est
orthogonal à P et de norme 1. Soit M un point de coordonnées (x, y, z). Si A est
un point de P , le symétrique M
de M est défini par
(∗)
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM − 2
− − − − − − →
AH =
− − − − − − − →
AM − 2(
− − − − − − − →
AM ·
→
n)
→
n
On a aussi (voir la figure précédente)
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − →
AK −
− − − − − − →
AH et
− − − − − − − →
AM =
− − − − − − →
AK +
− − − − − − →
AH , donc
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM , car les vecteurs
− − − − − − →
AK et
− − − − − − →
AH sont orthogonaux.
Si (p, q, r) sont les coordonnées de
− − − − − − − →
AM , alors d’après (∗), celles de
− − − − − − − − →
AM
sont
p
q
r
−2(ap+bq+cr)
a
b
c
=
⎡
⎣
(1−2a
2 )p−2abq−2acr
−2abp + (1−2b
2 )q−2bcr
−2acp−2bcq + (1−2c
2 )r
⎤
⎦ =
1−2a
2
−2ab −2ac
−2ab 1−2b
2
−2bc
−2ac −2bc 1−2c
2
p
q
r
Prenons pour A le point de coordonnées (−da, −db, −dc) qui est bien dans P ,
puisque ses coordonnées en vérifient l’équation. Les coordonnées (x,y,z) et (x
,y
,z
)
de M et M
sont reliées par la relation
x
+ da
y
+ db
z
+ dc
=
1−2a
2
−2ab −2ac
−2ab 1−2b
2
−2bc
−2ac −2bc 1−2c
2
x + da
y + db
z + dc
= S
x + da
y + db
z + dc
Cas d'un plan passant par l'origine. On a alors d = 0 et P est un plan vectoriel. La symétrie orthogonale par rapport à P est une transformation linéaire s
de E . Le calcul ci-dessus montre que sa matrice S dans une base orthonormée est
symétrique. En appelant O l’origine, on a s(
− − − − − − − →
OM ) =
− − − − − − − − →
OM
et
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − − →
OM : s
est donc une isométrie et la matrice S est aussi orthogonale.
On a s(
→
n) = −
→
n et pour tout vecteur
→
v ∈ P , on a s(
→
v) =
→
v : les vecteurs propres de s
pour la valeur propre 1 sont les vecteurs de P et le vecteur
→
n est propre pour la valeur
propre −1. Si l’on choisit une base quelconque (
→
e,
→
f ) de P , la matrice de s dans la base
(
→
e,
→
f,
→
n) est donc
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
. Sur cette matrice, on voit que le déterminant de s est −1 :
toute matrice d’une symétrie par rapport à un plan est donc aussi de déterminant −1.
3.2 Produit vectoriel
Dans ce paragraphe, on se donne une base orthonormée B = (e 1 , e 2 , e 3 ) de E .
222 – G ´
EOM ´
ETRIE EUCLIDIENNE