La matrice S est symétrique. On a CB
−1 = C(C
−1t C
−1 ) =
t C
−1 , donc CB
−1 A =
t C
−1 A et
S = C(B
−1 A)C
−1 . Les matrices B
−1 A et S ont même polynôme caractéristique (page 171),
donc λ est aussi la plus grande valeur propre de S . D’après la proposition précédente, on a
(
t Y )SY
(
t Y )Y
λ pour tout Y = 0 et donc
(
t X)AX
(
t X)BX
λ pour tout X = 0.
3. Géométrie euclidienne
Soit E un espace euclidien de dimension 3.
Si M et M
sont des points de E , leur distance est par définition
− − − − − − − − − − →
MM
.
3.1 Projections et symétries
Considérons dans E une droite affine D passant par un point A et dirigée par un
vecteur non nul
→
n. Soit P le plan orthogonal à
→
n passant par A.
Puisque le vecteur
→
u = 1
→
n
→
n est de norme 1, la projection orthogonale d’un vecteur
→
v sur la droite vectorielle engendrée par
→
n est p(
→
v) = (
→
v ·
→
u)
→
u =
1
→
n 2
(
→
v ·
→
n)
→
n,
d’après le théorème de la projection page 209. La projection de
→
v sur le plan vectoriel
orthogonal à
→
n est
→
v − p(
→
v), d’où le résultat suivant :
→
u
→
n
M
E
D
M
A
K
H
P
Pour tout point M ∈ E ,
® le projeté de M sur D est le point H défini par
− − − − − − →
AH =
− − − − − − − →
AM ·
→
n
→
n 2
→
n,
® le projeté de M sur P est le point K défini par
− − − − − − →
AK =
− − − − − − − →
AM −
− − − − − − →
AH .
® le symétrique de M par rapport à P est le point
M
tel que
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM − 2
− − − − − − →
AH .
Distance à un plan. Soit P un plan affine de E .
® Si P est le plan passant par un point A et orthogonal au vecteur
→
n = 0, la distance de
M à P est
− − − − − − − →
AM ·
→
n
→
n
.
® Si le plan P a pour équation ax+by +cz +d=0 dans un repère orthonormé de E et si M
a pour coordonnées (x M ,y M ,z M ), la distance de M à P est
|ax M + by M + cz M + d|
a 2 + b 2 + c 2
.
Démonstration. Avec les notations précédentes, la distance de M à P est AH =
− − →
AH =
− − →
AM ·
→
n
→
n 2
→
n =
− − →
AM ·
→
n
→
n
, d’où la première formule. Si P a pour équation ax + by + cz + d = 0
dans un repère orthonormé de E , alors le vecteur
→
n de coordonnées (a, b, c) est orthogonal à P et si le point A ∈ P a pour coordonnées (x A , y A , z A ), on a
− −→
AM ·
→
n =
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 221
−1 = C(C
−1t C
−1 ) =
t C
−1 , donc CB
−1 A =
t C
−1 A et
S = C(B
−1 A)C
−1 . Les matrices B
−1 A et S ont même polynôme caractéristique (page 171),
donc λ est aussi la plus grande valeur propre de S . D’après la proposition précédente, on a
(
t Y )SY
(
t Y )Y
λ pour tout Y = 0 et donc
(
t X)AX
(
t X)BX
λ pour tout X = 0.
3. Géométrie euclidienne
Soit E un espace euclidien de dimension 3.
Si M et M
sont des points de E , leur distance est par définition
− − − − − − − − − − →
MM
.
3.1 Projections et symétries
Considérons dans E une droite affine D passant par un point A et dirigée par un
vecteur non nul
→
n. Soit P le plan orthogonal à
→
n passant par A.
Puisque le vecteur
→
u = 1
→
n
→
n est de norme 1, la projection orthogonale d’un vecteur
→
v sur la droite vectorielle engendrée par
→
n est p(
→
v) = (
→
v ·
→
u)
→
u =
1
→
n 2
(
→
v ·
→
n)
→
n,
d’après le théorème de la projection page 209. La projection de
→
v sur le plan vectoriel
orthogonal à
→
n est
→
v − p(
→
v), d’où le résultat suivant :
→
u
→
n
M
E
D
M
A
K
H
P
Pour tout point M ∈ E ,
® le projeté de M sur D est le point H défini par
− − − − − − →
AH =
− − − − − − − →
AM ·
→
n
→
n 2
→
n,
® le projeté de M sur P est le point K défini par
− − − − − − →
AK =
− − − − − − − →
AM −
− − − − − − →
AH .
® le symétrique de M par rapport à P est le point
M
tel que
− − − − − − − − →
AM
=
− − − − − − − →
AM − 2
− − − − − − →
AH .
Distance à un plan. Soit P un plan affine de E .
® Si P est le plan passant par un point A et orthogonal au vecteur
→
n = 0, la distance de
M à P est
− − − − − − − →
AM ·
→
n
→
n
.
® Si le plan P a pour équation ax+by +cz +d=0 dans un repère orthonormé de E et si M
a pour coordonnées (x M ,y M ,z M ), la distance de M à P est
|ax M + by M + cz M + d|
a 2 + b 2 + c 2
.
Démonstration. Avec les notations précédentes, la distance de M à P est AH =
− − →
AH =
− − →
AM ·
→
n
→
n 2
→
n =
− − →
AM ·
→
n
→
n
, d’où la première formule. Si P a pour équation ax + by + cz + d = 0
dans un repère orthonormé de E , alors le vecteur
→
n de coordonnées (a, b, c) est orthogonal à P et si le point A ∈ P a pour coordonnées (x A , y A , z A ), on a
− −→
AM ·
→
n =
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 221