On a
3x
2 + 3y
2 + 2z
2 + 2xz + 2yz =
t XSX , pour tout X =
x
y
z
.
Pour étudier la surface, plaçons-nous dans la base orthonormée (E 1 , E 2 , E 3 ) formée
des vecteurs propres de S . Les coordonnées de X dans cette base sont données par
le vecteur-colonne U tel que X = P U , où P est la matrice de changement de base,
c’est-à-dire la matrice de colonnes E 1 , E 2 , E 3 . Il vient
(
t X)SX =
t (P U)SP U = (
t U )(
t P )SP U = (
t U )P
−1 SP U , car
t P = P
−1
= (
t U )
1 0 0
0 3 0
0 0 4
U = u
2 + 3v
2 + 4w
2 , où U =
u
v
w
.
Dans la base orthonormée (E 1 , E 2 , E 3 ), l’équation de E K est donc simplement
u
2 + 3v
2 + 4w
2 = K
2
(équation réduite)
Si l’on coupe la surface par le plan des coordonnées u,v (en faisant w = 0), on obtient
l’ellipse d’équation u
2 + 3v
2 = K
2 : elle est centrée à l’origine et ses axes sont les axes
des coordonnées u et v. De même, l’intersection de la surface avec les autres plans de
coordonnées sont des ellipses ayant pour axes les directions des coordonnées u, v ou
w. Ainsi la surface est un ellipsoïde d’axes dirigés par E 1 , E 2 , E 3 . Pour les points de
E K qui sont sur les axes, on a −K u K , −K/
√
3 v K/
√
3 et −K/2 w K/2 :
le plus grand axe de l’ellipsoïde, porté par u, a pour longueur 2K ; l’axe porté par
v a pour longueur 2K/
√
3 et le plus petit axe, porté par w, a pour longueur K .
z
x
y
E
u
v
w
On doit parfois comparer deux produits scalaires : voici comment calculer la valeur
extrême que peut prendre leur rapport.
Proposition. Soient A et B des matrices de même taille n, symétriques définies positives. Pour tout vecteur-colonne non nul X ∈ R
n , on a
(
t X)AX
(
t X)BX
λ, où λ est la plus
grande valeur propre de B
−1 A.
Démonstration. Il existe une matrice inversible C telle que B = (
t C)C (exercice 5 page
238). Pour tout vecteur X ∈ R
n , on a donc (
t X)BX = (
t X)(
t C)CX = (
t Y )Y , où Y = CX .
Puisque X = C
−1 Y , il vient, si Y = 0,
(
t X)AX
(
t X)BX
=
(
t Y )(
t C
−1 )AC
−1 Y
(
t Y )Y
=
(
t Y )SY
(
t Y )Y
, où S = (
t C
−1 )AC
−1 .
220 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES
3x
2 + 3y
2 + 2z
2 + 2xz + 2yz =
t XSX , pour tout X =
x
y
z
.
Pour étudier la surface, plaçons-nous dans la base orthonormée (E 1 , E 2 , E 3 ) formée
des vecteurs propres de S . Les coordonnées de X dans cette base sont données par
le vecteur-colonne U tel que X = P U , où P est la matrice de changement de base,
c’est-à-dire la matrice de colonnes E 1 , E 2 , E 3 . Il vient
(
t X)SX =
t (P U)SP U = (
t U )(
t P )SP U = (
t U )P
−1 SP U , car
t P = P
−1
= (
t U )
1 0 0
0 3 0
0 0 4
U = u
2 + 3v
2 + 4w
2 , où U =
u
v
w
.
Dans la base orthonormée (E 1 , E 2 , E 3 ), l’équation de E K est donc simplement
u
2 + 3v
2 + 4w
2 = K
2
(équation réduite)
Si l’on coupe la surface par le plan des coordonnées u,v (en faisant w = 0), on obtient
l’ellipse d’équation u
2 + 3v
2 = K
2 : elle est centrée à l’origine et ses axes sont les axes
des coordonnées u et v. De même, l’intersection de la surface avec les autres plans de
coordonnées sont des ellipses ayant pour axes les directions des coordonnées u, v ou
w. Ainsi la surface est un ellipsoïde d’axes dirigés par E 1 , E 2 , E 3 . Pour les points de
E K qui sont sur les axes, on a −K u K , −K/
√
3 v K/
√
3 et −K/2 w K/2 :
le plus grand axe de l’ellipsoïde, porté par u, a pour longueur 2K ; l’axe porté par
v a pour longueur 2K/
√
3 et le plus petit axe, porté par w, a pour longueur K .
z
x
y
E
u
v
w
On doit parfois comparer deux produits scalaires : voici comment calculer la valeur
extrême que peut prendre leur rapport.
Proposition. Soient A et B des matrices de même taille n, symétriques définies positives. Pour tout vecteur-colonne non nul X ∈ R
n , on a
(
t X)AX
(
t X)BX
λ, où λ est la plus
grande valeur propre de B
−1 A.
Démonstration. Il existe une matrice inversible C telle que B = (
t C)C (exercice 5 page
238). Pour tout vecteur X ∈ R
n , on a donc (
t X)BX = (
t X)(
t C)CX = (
t Y )Y , où Y = CX .
Puisque X = C
−1 Y , il vient, si Y = 0,
(
t X)AX
(
t X)BX
=
(
t Y )(
t C
−1 )AC
−1 Y
(
t Y )Y
=
(
t Y )SY
(
t Y )Y
, où S = (
t C
−1 )AC
−1 .
220 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES