Exemple 1. Cherchons à quelle condition la matrice symétrique réelle S =
p q
q r
est
définie positive. Le polynôme caractéristique est
p − z q
q r − z
= z
2
−(p+r)z +pr −q
2 .
Les racines sont positives si et seulement si leur produit pr − q
2 et leur somme p + r
sont positifs. Ces conditions sont équivalentes à pr − q
2 > 0 et p > 0, car pr > q
2
0
implique que p et r sont de même signe, donc du signe de leur somme. On retrouve ainsi les conditions qui ont permis, page 202, de construire un produit scalaire
xx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
= [ x y ]
p q
q r
x
y
sur R
2 .
Exemple 2 : étude d'une ellipse. Soit E la courbe d’équation 5x
2 +4xy+2y
2 =9.
On a
5x
2 + 4xy + 2y
2 = [ x y ]
5 2
2 2
x
y
.
La matrice S =
5 2
2 2
est symétrique, son polynôme caractéristique est z
2
− 7z + 6 =
(z − 1)(z − 6), ses valeurs propres sont strictement positives, donc S est définie positive. Le vecteur (1, −2) est propre pour la valeur propre 1 et le vecteur orthogonal
(2, 1) est propre pour la valeur propre 6. Les vecteurs
E 1 = 1
√
5
1
−2
et E 2 = 1
√
5
2
1
forment une base orthonormée de vecteurs propres de S . Si P est la matrice orthogonale de colonnes E 1 , E 2 , les coordonnées dans (E 1 , E 2 ) d’un vecteur X ∈ R
2 sont
données par le vecteur-colonne U tel que X = P U . On a
5x
2 + 4xy + 2y
2 =
t XSX =
t (P U)SP U = (
t U )(
t P )SP U , où U =
u
v
,
= (
t U )P
−1 SP U , car
t P = P
−1 ,
= (
t U )
1 0
0 6
U = u
2 + 6v
2 .
1
1
E
u
y
x
v
E 1
E 2
L’équation de E dans la base orthonormée (E 1 , E 2 ) est donc
simplement
u
2 + 6v
2 = 9
(équation réduite)
Ainsi E est une ellipse d’axes dirigés par les vecteurs E 1 et E 2 . Pour
un point de l’ellipse, on a −3 u 3 et −(1/2)
√
6 v (1/2)
√
6 :
le petit axe, dirigé par E 2 , a pour longueur
√
6 et le grand axe a
pour longueur 6.
Exemple 3 : un ellipsoïde. Reprenons la matrice symétrique S =
3 0 1
0 3 1
1 1 2
étudiée page 217. Soit K un nombre positif et E K la surface d’équation
3x
2 + 3y
2 + 2z
2 + 2xz + 2yz = K
2 .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 219
p q
q r
est
définie positive. Le polynôme caractéristique est
p − z q
q r − z
= z
2
−(p+r)z +pr −q
2 .
Les racines sont positives si et seulement si leur produit pr − q
2 et leur somme p + r
sont positifs. Ces conditions sont équivalentes à pr − q
2 > 0 et p > 0, car pr > q
2
0
implique que p et r sont de même signe, donc du signe de leur somme. On retrouve ainsi les conditions qui ont permis, page 202, de construire un produit scalaire
xx
+ q(xy
+ x
y) + ryy
= [ x y ]
p q
q r
x
y
sur R
2 .
Exemple 2 : étude d'une ellipse. Soit E la courbe d’équation 5x
2 +4xy+2y
2 =9.
On a
5x
2 + 4xy + 2y
2 = [ x y ]
5 2
2 2
x
y
.
La matrice S =
5 2
2 2
est symétrique, son polynôme caractéristique est z
2
− 7z + 6 =
(z − 1)(z − 6), ses valeurs propres sont strictement positives, donc S est définie positive. Le vecteur (1, −2) est propre pour la valeur propre 1 et le vecteur orthogonal
(2, 1) est propre pour la valeur propre 6. Les vecteurs
E 1 = 1
√
5
1
−2
et E 2 = 1
√
5
2
1
forment une base orthonormée de vecteurs propres de S . Si P est la matrice orthogonale de colonnes E 1 , E 2 , les coordonnées dans (E 1 , E 2 ) d’un vecteur X ∈ R
2 sont
données par le vecteur-colonne U tel que X = P U . On a
5x
2 + 4xy + 2y
2 =
t XSX =
t (P U)SP U = (
t U )(
t P )SP U , où U =
u
v
,
= (
t U )P
−1 SP U , car
t P = P
−1 ,
= (
t U )
1 0
0 6
U = u
2 + 6v
2 .
1
1
E
u
y
x
v
E 1
E 2
L’équation de E dans la base orthonormée (E 1 , E 2 ) est donc
simplement
u
2 + 6v
2 = 9
(équation réduite)
Ainsi E est une ellipse d’axes dirigés par les vecteurs E 1 et E 2 . Pour
un point de l’ellipse, on a −3 u 3 et −(1/2)
√
6 v (1/2)
√
6 :
le petit axe, dirigé par E 2 , a pour longueur
√
6 et le grand axe a
pour longueur 6.
Exemple 3 : un ellipsoïde. Reprenons la matrice symétrique S =
3 0 1
0 3 1
1 1 2
étudiée page 217. Soit K un nombre positif et E K la surface d’équation
3x
2 + 3y
2 + 2z
2 + 2xz + 2yz = K
2 .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 219