Supposons que M est une matrice carrée. On a det A = (det
t M )(det M ) = (det M )
2 . Puisque
det A = det D est le produit des λ i , le déterminant de M est non nul si et seulement si les
λ i sont tous non nuls.
Construction de produits scalaires
Soit S ∈ M n (R). Pour tous vecteurs-colonne X et X
appartenant à R
n , le produit
(
t X)SX
du vecteur-ligne
t X par le vecteur-colonne SX
est une matrice de taille
1, c’est-à-dire un nombre réel ; une telle matrice est évidemment égale à sa transposée, donc (
t X)SX
=
t
(
t X)SX
= (
t X
)(
t S)X . Si l’on suppose en outre que S est
symétrique, alors il vient (
t X)SX
= (
t X
)SX .
Puisque le nombre (
t X)SX
dépend linéairement de X et de X
, l’application
(X, X
) → (
t X)SX
définira un produit scalaire sur R
n si l’on a la propriété de
positivité : (
t X)SX > 0 pour tout vecteur X = 0.
Définition
Une matrice S symétrique à coefficients réels est dite définie positive si (
t X)SX > 0
pour tout vecteur-colonne X = 0.
Proposition. Soit S une matrice symétrique à coefficients réels et de taille n.
a) Si r est la plus petite valeur propre de S et R la plus grande, alors pour tout vecteur
X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ , on a r
n
i=1 x
2
i (
t X)SX R
n
i=1 x
2
i .
b) La matrice S est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont
strictement positives. Dans ce cas, (X, X
) → (
t X)SX
est un produit scalaire sur R
n .
Démonstration. D’après le corollaire précédent, il existe une matrice orthogonale P et une
matrice diagonale D=diag(λ 1 ,λ 2 ,. . .,λ n ) telle que P
−1 SP =D. Soit X ∈R
n un vecteur-colonne.
Puisque P est inversible, il y a un vecteur Y tel que X =P Y et l’on a (
t X)SX =(
t Y )(
t P )SP Y =
(
t Y )P
−1 SP Y car P est orthogonale. Il vient (
t X)SX = (
t Y )DY = λ 1 y
2
1 + λ 2 y
2
2 + · · · + λ n y
2
n .
Puisqu’on a r λ i R pour tout i, on en déduit r
n
i=1 y
2
i (
t X)SX R
n
i=1 y
2
i . De plus, X et
Y ont la même norme euclidienne, car la matrice P est orthogonale, donc
n
i=1 y
2
i =
n
i=1 x
2
i .
Si toutes les valeurs propres λ i sont strictement positives, alors il vient 0 < rX
2
(
t X)SX
pour X = 0 : ainsi la matrice S est définie positive et l’expression (
t X)SX
définit un produit
scalaire sur R
n . Réciproquement, s’il existe k tel que λ k 0, alors pour le vecteur canonique
Y = E k , on a (
t Y )DY = λ k y
2
k 0, donc (
t X)SX 0 si X = P E k .
Remarque
Dans la proposition, l’inégalité de gauche est une égalité si X est un vecteur propre
pour la plus petite valeur propre de S ; celle de droite est une égalité si X est un
vecteur propre pour la plus grande valeur propre.
218 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES
t M )(det M ) = (det M )
2 . Puisque
det A = det D est le produit des λ i , le déterminant de M est non nul si et seulement si les
λ i sont tous non nuls.
Construction de produits scalaires
Soit S ∈ M n (R). Pour tous vecteurs-colonne X et X
appartenant à R
n , le produit
(
t X)SX
du vecteur-ligne
t X par le vecteur-colonne SX
est une matrice de taille
1, c’est-à-dire un nombre réel ; une telle matrice est évidemment égale à sa transposée, donc (
t X)SX
=
t
(
t X)SX
= (
t X
)(
t S)X . Si l’on suppose en outre que S est
symétrique, alors il vient (
t X)SX
= (
t X
)SX .
Puisque le nombre (
t X)SX
dépend linéairement de X et de X
, l’application
(X, X
) → (
t X)SX
définira un produit scalaire sur R
n si l’on a la propriété de
positivité : (
t X)SX > 0 pour tout vecteur X = 0.
Définition
Une matrice S symétrique à coefficients réels est dite définie positive si (
t X)SX > 0
pour tout vecteur-colonne X = 0.
Proposition. Soit S une matrice symétrique à coefficients réels et de taille n.
a) Si r est la plus petite valeur propre de S et R la plus grande, alors pour tout vecteur
X =
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ , on a r
n
i=1 x
2
i (
t X)SX R
n
i=1 x
2
i .
b) La matrice S est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont
strictement positives. Dans ce cas, (X, X
) → (
t X)SX
est un produit scalaire sur R
n .
Démonstration. D’après le corollaire précédent, il existe une matrice orthogonale P et une
matrice diagonale D=diag(λ 1 ,λ 2 ,. . .,λ n ) telle que P
−1 SP =D. Soit X ∈R
n un vecteur-colonne.
Puisque P est inversible, il y a un vecteur Y tel que X =P Y et l’on a (
t X)SX =(
t Y )(
t P )SP Y =
(
t Y )P
−1 SP Y car P est orthogonale. Il vient (
t X)SX = (
t Y )DY = λ 1 y
2
1 + λ 2 y
2
2 + · · · + λ n y
2
n .
Puisqu’on a r λ i R pour tout i, on en déduit r
n
i=1 y
2
i (
t X)SX R
n
i=1 y
2
i . De plus, X et
Y ont la même norme euclidienne, car la matrice P est orthogonale, donc
n
i=1 y
2
i =
n
i=1 x
2
i .
Si toutes les valeurs propres λ i sont strictement positives, alors il vient 0 < rX
2
(
t X)SX
pour X = 0 : ainsi la matrice S est définie positive et l’expression (
t X)SX
définit un produit
scalaire sur R
n . Réciproquement, s’il existe k tel que λ k 0, alors pour le vecteur canonique
Y = E k , on a (
t Y )DY = λ k y
2
k 0, donc (
t X)SX 0 si X = P E k .
Remarque
Dans la proposition, l’inégalité de gauche est une égalité si X est un vecteur propre
pour la plus petite valeur propre de S ; celle de droite est une égalité si X est un
vecteur propre pour la plus grande valeur propre.
218 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES