D’après la relation (∗), les coordonnées X
du point M
= r(M ) sont données par
X
=
P D + (cos θ)(I 3 − P D ) + (sin θ) V
X ,
autrement dit la matrice de la rotation r dans le repère (O;
→
i,
→
j,
→
k) est
R =
a
2 ab ac
ba b
2 bc
ca cb c
2
+ (cos θ)
1 − a
2
−ab −ac
−ba 1 − b
2
−bc
−ca −cb 1 − c
2
+ (sin θ)
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
.
Puisqu’on a
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − − →
OM , la matrice R est orthogonale.
Si la rotation r est d’axe
→
k, alors (a, b, c) = (0, 0, 1) et la matrice est simplement
A(θ) =
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0
0
1
. On voit ainsi que le déterminant de r est égal à 1, donc
toute matrice de rotation est de déterminant 1.
Axe et angle d'une rotation. Soit r une rotation de l’espace et soit R sa matrice
dans un repère orthonormé dont l’origine est sur l’axe de rotation.
® La rotation laisse fixe les vecteurs de l’axe : tout vecteur de l’axe est donc un
vecteur propre de r pour la valeur propre 1.
® Puisque les matrices R et A(θ) représentent toutes eux la rotation r, ces matrices
ont la même trace, donc 1 + 2 cos θ = tr R. Connaissant une matrice de rotation
R, on en déduit ainsi immédiatement le cosinus de l’angle.
4. Application à l'analyse de données
On dispose de données numériques sur des entités appelées individus : un individu
peut être une catégorie socio-professionnelle, une ville, un magasin, etc. Les données
portent sur une même liste de caractères communs à tous les individus.
Exemple.
A B C
R 1 5,7 9,5 4,1
R 2 6,1 8,2 3,5
R 3 7,0 7,9 2,9
Voici un tableau des prix pratiqués en euro pour les trois mêmes articles
A, B, C dans trois régions différentes R 1 , R 2 , R 3 .
Les individus sont ici les régions. La première colonne du tableau est réservée au premier caractère : elle est formée des prix
pratiqués pour l’article A dans les différentes régions. Chaque
colonne du tableau est ainsi relative à un caractère : une colonne
est un vecteur-caractère.
Supposons qu’il y a p caractères et n individus avec n > p. Comme dans l’exemple,
formons la matrice des données.
® Chaque colonne correspond à un caractère : la i-ième colonne est formée des
valeurs du i-ème caractère chez les différents individus. Les vecteurs-colonnes
C 1 , C 2 , . . . , C p , ou vecteurs-caractères, sont dans l’espace R
n .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 229
du point M
= r(M ) sont données par
X
=
P D + (cos θ)(I 3 − P D ) + (sin θ) V
X ,
autrement dit la matrice de la rotation r dans le repère (O;
→
i,
→
j,
→
k) est
R =
a
2 ab ac
ba b
2 bc
ca cb c
2
+ (cos θ)
1 − a
2
−ab −ac
−ba 1 − b
2
−bc
−ca −cb 1 − c
2
+ (sin θ)
0 −c b
c 0 −a
−b a 0
.
Puisqu’on a
− − − − − − − − →
OM
=
− − − − − − − →
OM , la matrice R est orthogonale.
Si la rotation r est d’axe
→
k, alors (a, b, c) = (0, 0, 1) et la matrice est simplement
A(θ) =
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0
0
1
. On voit ainsi que le déterminant de r est égal à 1, donc
toute matrice de rotation est de déterminant 1.
Axe et angle d'une rotation. Soit r une rotation de l’espace et soit R sa matrice
dans un repère orthonormé dont l’origine est sur l’axe de rotation.
® La rotation laisse fixe les vecteurs de l’axe : tout vecteur de l’axe est donc un
vecteur propre de r pour la valeur propre 1.
® Puisque les matrices R et A(θ) représentent toutes eux la rotation r, ces matrices
ont la même trace, donc 1 + 2 cos θ = tr R. Connaissant une matrice de rotation
R, on en déduit ainsi immédiatement le cosinus de l’angle.
4. Application à l'analyse de données
On dispose de données numériques sur des entités appelées individus : un individu
peut être une catégorie socio-professionnelle, une ville, un magasin, etc. Les données
portent sur une même liste de caractères communs à tous les individus.
Exemple.
A B C
R 1 5,7 9,5 4,1
R 2 6,1 8,2 3,5
R 3 7,0 7,9 2,9
Voici un tableau des prix pratiqués en euro pour les trois mêmes articles
A, B, C dans trois régions différentes R 1 , R 2 , R 3 .
Les individus sont ici les régions. La première colonne du tableau est réservée au premier caractère : elle est formée des prix
pratiqués pour l’article A dans les différentes régions. Chaque
colonne du tableau est ainsi relative à un caractère : une colonne
est un vecteur-caractère.
Supposons qu’il y a p caractères et n individus avec n > p. Comme dans l’exemple,
formons la matrice des données.
® Chaque colonne correspond à un caractère : la i-ième colonne est formée des
valeurs du i-ème caractère chez les différents individus. Les vecteurs-colonnes
C 1 , C 2 , . . . , C p , ou vecteurs-caractères, sont dans l’espace R
n .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 229