Démonstration. On a
t (U
−1 MU) = (
t U )(
t M )(
t U
−1 ) = U
−1 M U car
t U = U
−1 et
t M = M .
Il vient
t (U
−1 MU) = U −1 MU , donc U
−1 MU est hermitienne.
Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice hermitienne
® Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont des nombres réels. Des vecteurs propres
associés à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux dans C
n .
® Pour une matrice symétrique réelle, des vecteurs propres associés à deux valeurs propres
différentes sont orthogonaux dans R
n .
Démonstration. Soit M une matrice hermitienne de taille n et soient X , Y des vecteurs
propres associés à des valeurs propres λ et μ. On a MX = λX , MY = μY et donc
(
t X)(
t M )Y =
t (MX)Y =
t (λX)Y = λ
t (XY ) = λ(X · Y )
(
t X)M Y = (
t X)MY = (
t X)μY = (
t X)μY = μ(
t X)Y = μ(X · Y ) .
Puisque
t M = M , on en déduit l’égalité λ(X · Y ) = μ(X · Y ), ou encore (λ − μ)X · Y = 0.
Choisissons X = Y , donc λ = μ : il vient (μ − μ)X
2 , donc μ = μ , car X n’est pas nul.
Supposons λ = μ : alors λ − μ = λ − μ = 0, donc X · Y = 0.
Voici un résultat fondamental, ainsi que son corollaire.
Diagonalisation des matrices hermitiennes. Si M est une matrice hermitienne
de taille n, il existe une matrice unitaire U telle que U
−1 MU est diagonale à coefficients
réels. En particulier, M est diagonalisable sur C et les colonnes de U forment une base
orthonormée de C
n formée de vecteurs propres pour la transformation X → MX .
Démonstration. Remarquons que le résultat est évident pour une matrice de taille 1 et montrons la première affirmation par récurrence sur la taille de la matrice. Soient λ une valeur propre
de M et e ∈ C
n un vecteur propre pour λ, choisi de manière que e =1. Soit W le sous-espace
vectoriel de C
n orthogonal à e. Puisque W est de dimension n − 1, il existe une base orthonormée (w 2 ,. . .,w n ) de W et les vecteurs e,w 2 ,. . .,w n forment alors une base orthonormée de C
n .
Puisque f (e) = λe, la transformation f : X → MX a, dans cette base, une matrice de la forme
A =
λ ∗
0 M
, où M
est une matrice carrée de taille n − 1. La matrice Q formée des vecteurscolonne e,w 2 ,. . .,w n est unitaire et d’après la formule du changement de base, on a A=Q
−1 MQ.
D’après la première proposition de ce paragraphe, A est une matrice hermitienne, ce qui implique à la fois que sa première ligne est [ λ 0 · · · 0 ] et que M
est hermitienne. Par hypothèse
de récurrence, il existe donc une matrice R
unitaire de taille n − 1 telle que R
−1 M
R
est diagonale. Posons R=
1 0
0 R
. La matrice R a ses vecteurs-colonne deux à deux orthogonaux et de
norme 1, donc R est unitaire et R
−1 =
1 0
0 R
−1
. D’après les règles du produit matriciel, il vient
R
−1 AR =
1 0
0 R
−1
λ 0
0 M
1 0
0 R
=
λ
0
0 R
−1 M
R
=
λ 0
0 D
où D
est diagonale. On a R
−1 AR = R
−1 Q
−1 MQR = (QR)
−1 M (QR). Puisque les matrices Q
et R sont unitaires, il en va de même de leur produit U = QR. En posant D
= diag(λ 2 ,. . .,λ n )
et λ 1 = λ, on a donc U
−1 MU = diag(λ 1 ,. . .,λ n ). Puisque U
−1 MU est diagonale, les vecteurscolonne de U sont vecteurs propres de la transformation X → MX : en effet, si U i est le i-ème
vecteur-colonne de U , alors MU i = MUE i = U diag(λ 1 ,· · ·,λ n )E i = U (λ i E i )=λ i U E i = λ i U i .
216 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES
t (U
−1 MU) = (
t U )(
t M )(
t U
−1 ) = U
−1 M U car
t U = U
−1 et
t M = M .
Il vient
t (U
−1 MU) = U −1 MU , donc U
−1 MU est hermitienne.
Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice hermitienne
® Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont des nombres réels. Des vecteurs propres
associés à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux dans C
n .
® Pour une matrice symétrique réelle, des vecteurs propres associés à deux valeurs propres
différentes sont orthogonaux dans R
n .
Démonstration. Soit M une matrice hermitienne de taille n et soient X , Y des vecteurs
propres associés à des valeurs propres λ et μ. On a MX = λX , MY = μY et donc
(
t X)(
t M )Y =
t (MX)Y =
t (λX)Y = λ
t (XY ) = λ(X · Y )
(
t X)M Y = (
t X)MY = (
t X)μY = (
t X)μY = μ(
t X)Y = μ(X · Y ) .
Puisque
t M = M , on en déduit l’égalité λ(X · Y ) = μ(X · Y ), ou encore (λ − μ)X · Y = 0.
Choisissons X = Y , donc λ = μ : il vient (μ − μ)X
2 , donc μ = μ , car X n’est pas nul.
Supposons λ = μ : alors λ − μ = λ − μ = 0, donc X · Y = 0.
Voici un résultat fondamental, ainsi que son corollaire.
Diagonalisation des matrices hermitiennes. Si M est une matrice hermitienne
de taille n, il existe une matrice unitaire U telle que U
−1 MU est diagonale à coefficients
réels. En particulier, M est diagonalisable sur C et les colonnes de U forment une base
orthonormée de C
n formée de vecteurs propres pour la transformation X → MX .
Démonstration. Remarquons que le résultat est évident pour une matrice de taille 1 et montrons la première affirmation par récurrence sur la taille de la matrice. Soient λ une valeur propre
de M et e ∈ C
n un vecteur propre pour λ, choisi de manière que e =1. Soit W le sous-espace
vectoriel de C
n orthogonal à e. Puisque W est de dimension n − 1, il existe une base orthonormée (w 2 ,. . .,w n ) de W et les vecteurs e,w 2 ,. . .,w n forment alors une base orthonormée de C
n .
Puisque f (e) = λe, la transformation f : X → MX a, dans cette base, une matrice de la forme
A =
λ ∗
0 M
, où M
est une matrice carrée de taille n − 1. La matrice Q formée des vecteurscolonne e,w 2 ,. . .,w n est unitaire et d’après la formule du changement de base, on a A=Q
−1 MQ.
D’après la première proposition de ce paragraphe, A est une matrice hermitienne, ce qui implique à la fois que sa première ligne est [ λ 0 · · · 0 ] et que M
est hermitienne. Par hypothèse
de récurrence, il existe donc une matrice R
unitaire de taille n − 1 telle que R
−1 M
R
est diagonale. Posons R=
1 0
0 R
. La matrice R a ses vecteurs-colonne deux à deux orthogonaux et de
norme 1, donc R est unitaire et R
−1 =
1 0
0 R
−1
. D’après les règles du produit matriciel, il vient
R
−1 AR =
1 0
0 R
−1
λ 0
0 M
1 0
0 R
=
λ
0
0 R
−1 M
R
=
λ 0
0 D
où D
est diagonale. On a R
−1 AR = R
−1 Q
−1 MQR = (QR)
−1 M (QR). Puisque les matrices Q
et R sont unitaires, il en va de même de leur produit U = QR. En posant D
= diag(λ 2 ,. . .,λ n )
et λ 1 = λ, on a donc U
−1 MU = diag(λ 1 ,. . .,λ n ). Puisque U
−1 MU est diagonale, les vecteurscolonne de U sont vecteurs propres de la transformation X → MX : en effet, si U i est le i-ème
vecteur-colonne de U , alors MU i = MUE i = U diag(λ 1 ,· · ·,λ n )E i = U (λ i E i )=λ i U E i = λ i U i .
216 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES