Propriétés d'une isométrie. Si f : V → V est une isométrie, alors
i) pour tous vecteurs u et v de V , on a f (u)·f (v) = u·v (conservation du produit scalaire) ;
ii) f est une bijection et f
−1 est une isométrie.
Démonstration. Pour tous vecteurs u et v, on a 2(u · v) = u + v
2
− −u
2
− −v
2 . Si f est
une isométrie, alors
2 f (u) · f (v) = f (u) + f (v)
2 − −f (u)
2 − −f (v)
2 = f (u + v)
2 − −f (u)
2 − −f (v)
2
= u + v
2 − −u
2 − −v
2 = 2 u · v .
Si f (u)=0, alors il vient 0=f (u)=u, donc u=0 : cela montre que le noyau de f est réduit
au vecteur nul, donc la transformation linéaire f est bijective, d’après un corollaire page 173.
Caractérisation d'une isométrie. Pour qu’une transformation linéaire f : V → V
soit une isométrie, il faut et il suffit que la matrice de f dans une base orthonormée soit
une matrice orthogonale.
Démonstration. Soit A la matrice de f dans une base orthonormée (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de V .
Notons A i la i-ème colonne de A : elle est formée des coordonnées de f (e i ).
Supposons que f est une isométrie. Puisque e i et e j sont orthogonaux pour i = j , f (e i ) et
f (e j ) le sont aussi, ce qui se traduit par (
t A i )A j = 0 ; puisque e i est de norme 1, f (e i ) aussi,
donc (
t A i )A i = 1. Ces relations signifient que A est une matrice orthogonale. Réciproquement,
si A est orthogonale, alors pour tout vecteur u de coordonnées X , on a u · u = (
t X)X et
f (u) · f (u) =
t (AX)(AX) = (
t X)(
t A)AX = (
t X)I n X = (
t X)X , d’où f (u)
2 = u
2 .
Groupe des isométries de V. La composée de deux isométries est une isométrie, l’application identité est une isométrie et si f est une isométrie, alors f
−1 aussi.
Les isométries de V forment donc un groupe de transformations.
2.3 Diagonalisation des matrices hermitiennes
Définition
Une matrice M ∈ M n (C) telle que
t M = M s’appelle une matrice hermitienne.
Une matrice à coefficients réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.
Exemple. Toute matrice hermitienne de taille 2 est de la forme
x
a− b i
a + b i
y
=
x + y
2
I 2 +
x − y
2
1 0
0 −1
+ a
0 1
1 0
+ b
0 − i
i 0
,
où x, y, a, b sont des nombres réels. Les matrices hermitiennes
1 0
0 −1
,
0 1
1 0
et
0 − i
i 0
s’appellent les matrices de Pauli (exercice 5, page 156).
Proposition. Si M ∈ M n (C) est une matrice hermitienne et si U est une matrice
unitaire de taille n, alors U
−1 MU est hermitienne. Si S ∈ M n (R) est symétrique et si P
est une matrice orthogonale de taille n, alors P
−1 SP est symétrique.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 215
i) pour tous vecteurs u et v de V , on a f (u)·f (v) = u·v (conservation du produit scalaire) ;
ii) f est une bijection et f
−1 est une isométrie.
Démonstration. Pour tous vecteurs u et v, on a 2(u · v) = u + v
2
− −u
2
− −v
2 . Si f est
une isométrie, alors
2 f (u) · f (v) = f (u) + f (v)
2 − −f (u)
2 − −f (v)
2 = f (u + v)
2 − −f (u)
2 − −f (v)
2
= u + v
2 − −u
2 − −v
2 = 2 u · v .
Si f (u)=0, alors il vient 0=f (u)=u, donc u=0 : cela montre que le noyau de f est réduit
au vecteur nul, donc la transformation linéaire f est bijective, d’après un corollaire page 173.
Caractérisation d'une isométrie. Pour qu’une transformation linéaire f : V → V
soit une isométrie, il faut et il suffit que la matrice de f dans une base orthonormée soit
une matrice orthogonale.
Démonstration. Soit A la matrice de f dans une base orthonormée (e 1 , e 2 , . . . , e n ) de V .
Notons A i la i-ème colonne de A : elle est formée des coordonnées de f (e i ).
Supposons que f est une isométrie. Puisque e i et e j sont orthogonaux pour i = j , f (e i ) et
f (e j ) le sont aussi, ce qui se traduit par (
t A i )A j = 0 ; puisque e i est de norme 1, f (e i ) aussi,
donc (
t A i )A i = 1. Ces relations signifient que A est une matrice orthogonale. Réciproquement,
si A est orthogonale, alors pour tout vecteur u de coordonnées X , on a u · u = (
t X)X et
f (u) · f (u) =
t (AX)(AX) = (
t X)(
t A)AX = (
t X)I n X = (
t X)X , d’où f (u)
2 = u
2 .
Groupe des isométries de V. La composée de deux isométries est une isométrie, l’application identité est une isométrie et si f est une isométrie, alors f
−1 aussi.
Les isométries de V forment donc un groupe de transformations.
2.3 Diagonalisation des matrices hermitiennes
Définition
Une matrice M ∈ M n (C) telle que
t M = M s’appelle une matrice hermitienne.
Une matrice à coefficients réels est hermitienne si et seulement si elle est symétrique.
Exemple. Toute matrice hermitienne de taille 2 est de la forme
x
a− b i
a + b i
y
=
x + y
2
I 2 +
x − y
2
1 0
0 −1
+ a
0 1
1 0
+ b
0 − i
i 0
,
où x, y, a, b sont des nombres réels. Les matrices hermitiennes
1 0
0 −1
,
0 1
1 0
et
0 − i
i 0
s’appellent les matrices de Pauli (exercice 5, page 156).
Proposition. Si M ∈ M n (C) est une matrice hermitienne et si U est une matrice
unitaire de taille n, alors U
−1 MU est hermitienne. Si S ∈ M n (R) est symétrique et si P
est une matrice orthogonale de taille n, alors P
−1 SP est symétrique.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 215