Une matrice de M n (C) est unitaire si et seulement si ses colonnes forment une base
orthonormée de C
n ; une matrice de M n (R) est orthogonale si et seulement si ses
colonnes forment une base orthonormée de R
n .
Exemples
® Chacune des matrices
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
,
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
et
1 0
0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
est
orthogonale.
® Si α et β sont des nombres complexes, les vecteurs
α
β
et
−β
α
sont orthogonaux dans l’espace hermitien usuel C
2 . Il s’ensuit que si |α|
2 + |β|
2 = 1, alors la
matrice
α −β
β α
est unitaire.
® Une matrice est orthogonale si et seulement si elle est unitaire et à coefficients réels.
Propriétés des matrices unitaires ou orthogonales
i) Toute matrice P unitaire (ou orthogonale) est inversible et P
−1 est unitaire (ou orthogonale). On a P
−1 =
t P si P est unitaire, P
−1 =
t P si P est orthogonale : pour inverser
une matrice orthogonale, il suffit de la transposer.
ii) Le produit de deux matrices unitaires (ou orthogonales) est unitaire (ou orthogonale).
iii) Le déterminant d’une matrice unitaire est un nombre complexe de module 1.
Le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à ±1.
Démonstration. Si P est une matrice carrée, on a (
t P )P = I n ⇐⇒ (
t P )P = I n = I n : une
matrice P est donc unitaire si et seulement si P
−1 =
t P ; posons alors Q = P
−1 : puisque
Q =
t P , on a
t Q = P = Q
−1 , donc Q est unitaire et nous avons montré (i).
Si P et Q sont des matrices unitaires, alors
t (P Q)P Q =
t Q
t P P Q =
t QI n Q =
t QQ = I n ,
donc P Q est unitaire, d’où (ii).
Pour toute matrice carrée P à coefficients complexes, on a det P = det P , donc det
(
t P )P
=
(det
t P )(det P ) = (det P )(det P ) = | det P |
2 . Si P est une matrice unitaire, il vient 1 = det I n =
det
(
t P )P
= | det P |
2 . Si de plus P est à coefficients réels, son déterminant est un nombre
réel et l’égalité | det P |
2 = 1 implique det P = ±1.
2.2 Isométries d'un espace euclidien de dimension finie
Dans l’espace euclidien usuel de dimension 3, les rotations et les symétries sont des
transformations qui conservent la distance : si f est une telle transformation, on a
f
− − − − − →
AB
=
− − − − − →
AB pour tous points A et B, autrement dit f ne change pas la
norme des vecteurs. Ces transformations seront étudiées à la fin du chapitre, mais
nous présentons maintenant leurs propriétés générales.
Dans ce paragraphe, V est un espace euclidien de dimension n.
Définition
Une transformation linéaire f : V → V est une isométrie de V si f (u) = u pour
tout vecteur u ∈ V .
214 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES
orthonormée de C
n ; une matrice de M n (R) est orthogonale si et seulement si ses
colonnes forment une base orthonormée de R
n .
Exemples
® Chacune des matrices
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
,
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
et
1 0
0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
est
orthogonale.
® Si α et β sont des nombres complexes, les vecteurs
α
β
et
−β
α
sont orthogonaux dans l’espace hermitien usuel C
2 . Il s’ensuit que si |α|
2 + |β|
2 = 1, alors la
matrice
α −β
β α
est unitaire.
® Une matrice est orthogonale si et seulement si elle est unitaire et à coefficients réels.
Propriétés des matrices unitaires ou orthogonales
i) Toute matrice P unitaire (ou orthogonale) est inversible et P
−1 est unitaire (ou orthogonale). On a P
−1 =
t P si P est unitaire, P
−1 =
t P si P est orthogonale : pour inverser
une matrice orthogonale, il suffit de la transposer.
ii) Le produit de deux matrices unitaires (ou orthogonales) est unitaire (ou orthogonale).
iii) Le déterminant d’une matrice unitaire est un nombre complexe de module 1.
Le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à ±1.
Démonstration. Si P est une matrice carrée, on a (
t P )P = I n ⇐⇒ (
t P )P = I n = I n : une
matrice P est donc unitaire si et seulement si P
−1 =
t P ; posons alors Q = P
−1 : puisque
Q =
t P , on a
t Q = P = Q
−1 , donc Q est unitaire et nous avons montré (i).
Si P et Q sont des matrices unitaires, alors
t (P Q)P Q =
t Q
t P P Q =
t QI n Q =
t QQ = I n ,
donc P Q est unitaire, d’où (ii).
Pour toute matrice carrée P à coefficients complexes, on a det P = det P , donc det
(
t P )P
=
(det
t P )(det P ) = (det P )(det P ) = | det P |
2 . Si P est une matrice unitaire, il vient 1 = det I n =
det
(
t P )P
= | det P |
2 . Si de plus P est à coefficients réels, son déterminant est un nombre
réel et l’égalité | det P |
2 = 1 implique det P = ±1.
2.2 Isométries d'un espace euclidien de dimension finie
Dans l’espace euclidien usuel de dimension 3, les rotations et les symétries sont des
transformations qui conservent la distance : si f est une telle transformation, on a
f
− − − − − →
AB
=
− − − − − →
AB pour tous points A et B, autrement dit f ne change pas la
norme des vecteurs. Ces transformations seront étudiées à la fin du chapitre, mais
nous présentons maintenant leurs propriétés générales.
Dans ce paragraphe, V est un espace euclidien de dimension n.
Définition
Une transformation linéaire f : V → V est une isométrie de V si f (u) = u pour
tout vecteur u ∈ V .
214 – MATRICES UNITAIRES, MATRICES HERMITIENNES