X , X
et Y les vecteurs de R
n de coordonnées (x i ), (x
i ) et (y i ). En appelant
encore U le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à 1, la somme des
(y i − ax i − a
x
i − b)
2 est Y − aX − a
X
− bU
2 : on projette donc orthogonalement
Y sur le sous-espace W de R
n engendré par X, X
, U ; en général, ces vecteurs
sont indépendants et W est de dimension 3. Pour effectuer les calculs, on utilise la
formule de la proposition précédente.
2. Matrices unitaires, matrices hermitiennes
Dans ce paragraphe, V est un espace hermitien de dimension n.
Notations. Si X est un vecteur-colonne de K
n , on note X le vecteur obtenu en
conjuguant tous les coefficients de X . De même, si A est une matrice, A est la
matrice ayant pour coefficients les conjugués des coefficients de A.
Par définition de la transposée et du produit matriciel, on a
t (A) = t A , AB = AB et donc, si A est inversible, A −1 = (A)
−1 .
Expression du produit hermitien dans une base orthonormée
Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de V et si u et u
sont des vecteurs de
V , alors d’après la proposition page 206, on a u · u
= (
t U )U , où U et U
sont les
vecteurs-colonne des coordonnées de u et u
dans cette base.
2.1 Caractérisation matricielle d'une base orthonormée
Donnons-nous une base orthonormée B de V .
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs, U 1 , U 2 , . . . , U n les vecteurs-colonne de leurs coordonnées dans la base B et U la matrice ayant U 1 , U 2 , . . . , U n pour colonnes.
Puisque B est orthonormée, on a u i · u j = (
t U i )U j et par définition du produit
matriciel, ce nombre est le coefficient situé en i-ème ligne et j -ème colonne dans la
matrice (
t U )U .
Pour que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n forment une base orthonormée de V , il faut et
il suffit que l’on ait (
t U i )U j = 0 si i = j et (
t U i )U i = 1 pour tous i et j , autrement
dit que l’on ait (
t U )U = I n .
Définitions
Une matrice U ∈M n (C) telle que (
t U )U =I n est dite unitaire. Une matrice U ∈M n (R)
telle que (
t U )U = I n est dite orthogonale. On note U(n) l’ensemble des matrices
unitaires de M n (C) et O(n) l’ensemble des matrices orthogonales de M n (R).
Proposition. Soit B une base orthonormée de V . Pour que des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n
de V forment une base orthonormée de V , il faut et il suffit que la matrice des coordonnées
des u i dans la base B soit unitaire si K = C, orthogonale si K = R.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 213
et Y les vecteurs de R
n de coordonnées (x i ), (x
i ) et (y i ). En appelant
encore U le vecteur dont toutes les coordonnées sont égales à 1, la somme des
(y i − ax i − a
x
i − b)
2 est Y − aX − a
X
− bU
2 : on projette donc orthogonalement
Y sur le sous-espace W de R
n engendré par X, X
, U ; en général, ces vecteurs
sont indépendants et W est de dimension 3. Pour effectuer les calculs, on utilise la
formule de la proposition précédente.
2. Matrices unitaires, matrices hermitiennes
Dans ce paragraphe, V est un espace hermitien de dimension n.
Notations. Si X est un vecteur-colonne de K
n , on note X le vecteur obtenu en
conjuguant tous les coefficients de X . De même, si A est une matrice, A est la
matrice ayant pour coefficients les conjugués des coefficients de A.
Par définition de la transposée et du produit matriciel, on a
t (A) = t A , AB = AB et donc, si A est inversible, A −1 = (A)
−1 .
Expression du produit hermitien dans une base orthonormée
Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de V et si u et u
sont des vecteurs de
V , alors d’après la proposition page 206, on a u · u
= (
t U )U , où U et U
sont les
vecteurs-colonne des coordonnées de u et u
dans cette base.
2.1 Caractérisation matricielle d'une base orthonormée
Donnons-nous une base orthonormée B de V .
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs, U 1 , U 2 , . . . , U n les vecteurs-colonne de leurs coordonnées dans la base B et U la matrice ayant U 1 , U 2 , . . . , U n pour colonnes.
Puisque B est orthonormée, on a u i · u j = (
t U i )U j et par définition du produit
matriciel, ce nombre est le coefficient situé en i-ème ligne et j -ème colonne dans la
matrice (
t U )U .
Pour que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n forment une base orthonormée de V , il faut et
il suffit que l’on ait (
t U i )U j = 0 si i = j et (
t U i )U i = 1 pour tous i et j , autrement
dit que l’on ait (
t U )U = I n .
Définitions
Une matrice U ∈M n (C) telle que (
t U )U =I n est dite unitaire. Une matrice U ∈M n (R)
telle que (
t U )U = I n est dite orthogonale. On note U(n) l’ensemble des matrices
unitaires de M n (C) et O(n) l’ensemble des matrices orthogonales de M n (R).
Proposition. Soit B une base orthonormée de V . Pour que des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n
de V forment une base orthonormée de V , il faut et il suffit que la matrice des coordonnées
des u i dans la base B soit unitaire si K = C, orthogonale si K = R.
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 213