Soit A = [ X U ] la matrice à n lignes dont les deux colonnes sont X et U . D’après
la proposition précédente, le projeté orthogonal de Y sur W est A(
t
A A)
−1 (
t
A Y ).
® La matrice
t
A A est carrée de taille 2 : on a
t
A A =
t X
t U
[ X U ] =
t
XX
t
XU
t UX
t UU
=
X
2 X · U
U · X U
2
.
Le produit scalaire X · U est la somme s x = x 1 + x 2 + · · · + x n et U
2 = n. En
posant s x 2 = x
2
1 + x
2
2 + · · · + x
2
n = X
2 , il vient donc
(
t
A A)
−1 =
s x 2 s x
s x n
−1
=
1
ns x 2 − s
2
x
n −s x
−s x s x 2
® On a
t
A Y =
t X
t U
Y =
t X Y
t U Y
=
s xy
s y
, où s xy = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y n et
s y = y 1 + y 2 + · · · + y n .
Il vient (
t
A A)
−1 (
t
A Y ) =
1
ns x 2 − s
2
x
n −s x
−s x s x 2
s xy
s y
=
1
ns x 2 − s
2
x
ns xy − s x s y
s x 2 s y − s x s xy
.
En posant
a =
ns xy − s x s y
ns x 2 − s
2
x
et b =
s x 2 s y − s x s xy
ns x 2 − s
2
x
,
on obtient p W (Y ) = A
a
b
= aX + bU .
La droite de régression a donc pour équation y = ax + b.
y
x
1
1
2
2
3
3
4
5
Par exemple, pour les données du tableau suivant,
x i 0,3 0,8 1,1 1,6 2,3 2,6 3,0 3,4 4,1 4,5
y i 1,2 1,5 1,2 1,9 1,3 2,4 2,0 2,5 2,1 2,0
la droite de régression a pour équation y = 0,24x + 1,23.
Généralisation. La méthode précédente s’applique aussi bien lorsque les données
y i dépendent de plusieurs paramètres x, x
, . . .. Par exemple dans le cas de deux
paramètres, on considère dans l’espace R
3 les points M i = (x i , x
i , y i ) et il s’agit de
trouver un plan affine P minimisant la somme des d(M i , P )
2 , où d(M, P ) est la
distance du point M au plan P .
R
3
M
x
x
y
P
H
M
α
Si H est le projeté orthogonal de M sur P et si M
est le
projeté de M dans la direction de l’axe des y, alors on a
MH = d(M,P ) = MM
|cosα|, où α est l’écart angulaire entre
la normale à P et l’axe des y. Il revient donc au même de
minimiser la somme des M
i M i
2 .
Si l’équation du plan P est y = ax + a
x
+ b, alors M
i a pour
coordonnées (x i ,x
i ,ax i +a
x
i +b) et M
i M i =|y i −ax i −a
x
i −b|.
On cherche donc des nombres a, a
, b rendant minimum la
somme des (y i − ax i − a
x
i − b)
2 .
Supposons que le nombre des données est n 3 et notons
212 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE
la proposition précédente, le projeté orthogonal de Y sur W est A(
t
A A)
−1 (
t
A Y ).
® La matrice
t
A A est carrée de taille 2 : on a
t
A A =
t X
t U
[ X U ] =
t
XX
t
XU
t UX
t UU
=
X
2 X · U
U · X U
2
.
Le produit scalaire X · U est la somme s x = x 1 + x 2 + · · · + x n et U
2 = n. En
posant s x 2 = x
2
1 + x
2
2 + · · · + x
2
n = X
2 , il vient donc
(
t
A A)
−1 =
s x 2 s x
s x n
−1
=
1
ns x 2 − s
2
x
n −s x
−s x s x 2
® On a
t
A Y =
t X
t U
Y =
t X Y
t U Y
=
s xy
s y
, où s xy = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y n et
s y = y 1 + y 2 + · · · + y n .
Il vient (
t
A A)
−1 (
t
A Y ) =
1
ns x 2 − s
2
x
n −s x
−s x s x 2
s xy
s y
=
1
ns x 2 − s
2
x
ns xy − s x s y
s x 2 s y − s x s xy
.
En posant
a =
ns xy − s x s y
ns x 2 − s
2
x
et b =
s x 2 s y − s x s xy
ns x 2 − s
2
x
,
on obtient p W (Y ) = A
a
b
= aX + bU .
La droite de régression a donc pour équation y = ax + b.
y
x
1
1
2
2
3
3
4
5
Par exemple, pour les données du tableau suivant,
x i 0,3 0,8 1,1 1,6 2,3 2,6 3,0 3,4 4,1 4,5
y i 1,2 1,5 1,2 1,9 1,3 2,4 2,0 2,5 2,1 2,0
la droite de régression a pour équation y = 0,24x + 1,23.
Généralisation. La méthode précédente s’applique aussi bien lorsque les données
y i dépendent de plusieurs paramètres x, x
, . . .. Par exemple dans le cas de deux
paramètres, on considère dans l’espace R
3 les points M i = (x i , x
i , y i ) et il s’agit de
trouver un plan affine P minimisant la somme des d(M i , P )
2 , où d(M, P ) est la
distance du point M au plan P .
R
3
M
x
x
y
P
H
M
α
Si H est le projeté orthogonal de M sur P et si M
est le
projeté de M dans la direction de l’axe des y, alors on a
MH = d(M,P ) = MM
|cosα|, où α est l’écart angulaire entre
la normale à P et l’axe des y. Il revient donc au même de
minimiser la somme des M
i M i
2 .
Si l’équation du plan P est y = ax + a
x
+ b, alors M
i a pour
coordonnées (x i ,x
i ,ax i +a
x
i +b) et M
i M i =|y i −ax i −a
x
i −b|.
On cherche donc des nombres a, a
, b rendant minimum la
somme des (y i − ax i − a
x
i − b)
2 .
Supposons que le nombre des données est n 3 et notons
212 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE