Théorème de la projection. Soit W un sous-espace vectoriel de dimension finie de V .
® Pour tout vecteur u∈V , il existe un unique vecteur p W (u)∈W tel que u−p W (u)∈W
⊥ .
Le vecteur p W (u) s’appelle le projeté orthogonal de u sur W .
® Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de W , alors
p W (u) = (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n
® L’application p W : V → W est linéaire et s’appelle la projection orthogonale sur W .
® Si u est un vecteur de V , alors
i) u
2 = p W (u)
2 + u − p W (u)
2
ii) u ∈ W ⇐⇒ p W (u) = u et
u ∈ W
⊥
⇐⇒ p W (u) = 0
iii) pour tout vecteur w ∈ W , on a u − w u − p W (u).
Démonstration.
p W (u)
p W (u)
u
u −
W
W
⊥
Nous avons montré ci-dessus que si e 1 ,e 2 ,. . .,e n est une base orthonormée
de W , alors en posant
p W (u) = u
= (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n ,
on a u
∈ W et u − u
∈ W
⊥ .
Montrons l’unicité du projeté orthogonal. Supposons que u
est aussi un vecteur de W tel que u − u
∈ W
⊥ . Le vecteur
(u − u
) − (u − u
) appartient à W
⊥ et u
− u
appartient
à W ; puisqu’on a (u − u
) − (u − u
) = u
− u
, ce vecteur
appartient à W et à W
⊥ , donc il est nul. D’après l’expression ci-dessus de p W (u) dans une
base orthonormée de W , l’application u → p W (u) est linéaire.
La propriété (i) est une application du théorème de Pythagore. Montrons (ii) : si u ∈ W , alors
par définition du projeté orthogonal, on a u = p W (u) car 0 = u − u est dans W
⊥ ; réciproquement, si u = p W (u), alors u ∈ W , car p W (u) ∈ W ; si u ∈ W
⊥ , alors u − 0 ∈ W
⊥ , donc
p W (u) = 0 ; réciproquement, si p W (u) = 0, alors u − p W (u) = u est dans W
⊥ .
Soit u∈V et w ∈W . Puisque u−p W (u)∈W
⊥ et p W (u)−w ∈W , ces vecteurs sont orthogonaux.
D’après le théorème de Pythagore, il vient
u − w
2 =
u − p W (u)
+
p W (u) − w
2 = u − p W (u)
2 + p W (u) − w
2 u − p W (u)
2 .
Voici la signification de la propriété (iii) : si l’on cherche à approcher un vecteur de u ∈ V
par un vecteur de W , la meilleure approximation en norme est le projeté orthogonal p W (u).
Cas d'un espace V de dimension finie
Proposition. Si l’espace hermitien V est de dimension finie, alors pour tout sous-espace
vectoriel W de V , on a dim W + dim(W
⊥ ) = dim V et (W
⊥ )
⊥ = W .
Démonstration. La projection orthogonale p W :V →W est une application linéaire d’image W
et de noyau W
⊥ . D’après la formule de la dimension (page 172), on a donc dimW +dim(W
⊥ )=
dim V . En appliquant cette égalité à W
⊥ , il vient dim
W
⊥
⊥
= dim V − dim(W
⊥ ) = dim W .
Tout vecteur de W est orthogonal à tout vecteur de W
⊥ , donc on a l’inclusion W ⊂
W
⊥
⊥ .
D’après la propriété (4) page 165, on en déduit l’égalité W =
W
⊥
⊥ .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 209
® Pour tout vecteur u∈V , il existe un unique vecteur p W (u)∈W tel que u−p W (u)∈W
⊥ .
Le vecteur p W (u) s’appelle le projeté orthogonal de u sur W .
® Si e 1 , e 2 , . . . , e n est une base orthonormée de W , alors
p W (u) = (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n
® L’application p W : V → W est linéaire et s’appelle la projection orthogonale sur W .
® Si u est un vecteur de V , alors
i) u
2 = p W (u)
2 + u − p W (u)
2
ii) u ∈ W ⇐⇒ p W (u) = u et
u ∈ W
⊥
⇐⇒ p W (u) = 0
iii) pour tout vecteur w ∈ W , on a u − w u − p W (u).
Démonstration.
p W (u)
p W (u)
u
u −
W
W
⊥
Nous avons montré ci-dessus que si e 1 ,e 2 ,. . .,e n est une base orthonormée
de W , alors en posant
p W (u) = u
= (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n ,
on a u
∈ W et u − u
∈ W
⊥ .
Montrons l’unicité du projeté orthogonal. Supposons que u
est aussi un vecteur de W tel que u − u
∈ W
⊥ . Le vecteur
(u − u
) − (u − u
) appartient à W
⊥ et u
− u
appartient
à W ; puisqu’on a (u − u
) − (u − u
) = u
− u
, ce vecteur
appartient à W et à W
⊥ , donc il est nul. D’après l’expression ci-dessus de p W (u) dans une
base orthonormée de W , l’application u → p W (u) est linéaire.
La propriété (i) est une application du théorème de Pythagore. Montrons (ii) : si u ∈ W , alors
par définition du projeté orthogonal, on a u = p W (u) car 0 = u − u est dans W
⊥ ; réciproquement, si u = p W (u), alors u ∈ W , car p W (u) ∈ W ; si u ∈ W
⊥ , alors u − 0 ∈ W
⊥ , donc
p W (u) = 0 ; réciproquement, si p W (u) = 0, alors u − p W (u) = u est dans W
⊥ .
Soit u∈V et w ∈W . Puisque u−p W (u)∈W
⊥ et p W (u)−w ∈W , ces vecteurs sont orthogonaux.
D’après le théorème de Pythagore, il vient
u − w
2 =
u − p W (u)
+
p W (u) − w
2 = u − p W (u)
2 + p W (u) − w
2 u − p W (u)
2 .
Voici la signification de la propriété (iii) : si l’on cherche à approcher un vecteur de u ∈ V
par un vecteur de W , la meilleure approximation en norme est le projeté orthogonal p W (u).
Cas d'un espace V de dimension finie
Proposition. Si l’espace hermitien V est de dimension finie, alors pour tout sous-espace
vectoriel W de V , on a dim W + dim(W
⊥ ) = dim V et (W
⊥ )
⊥ = W .
Démonstration. La projection orthogonale p W :V →W est une application linéaire d’image W
et de noyau W
⊥ . D’après la formule de la dimension (page 172), on a donc dimW +dim(W
⊥ )=
dim V . En appliquant cette égalité à W
⊥ , il vient dim
W
⊥
⊥
= dim V − dim(W
⊥ ) = dim W .
Tout vecteur de W est orthogonal à tout vecteur de W
⊥ , donc on a l’inclusion W ⊂
W
⊥
⊥ .
D’après la propriété (4) page 165, on en déduit l’égalité W =
W
⊥
⊥ .
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 209