donc
e n · e p =
0 si n = p
1 si n = p
Dans l’espace V , les vecteurs e n sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. En
particulier, pour tout entier k 1, les vecteurs e 0 , e 1 , . . . , e k sont indépendants, donc
l’espace vectoriel V n’est pas de dimension finie.
Le produit hermitien qu’on vient de définir joue un rôle important lorsqu’on veut
approcher un signal périodique par des fonctions trigonométriques (voir page 549).
1.4 Sous-espace orthogonaux et projections
Définition
Soit W un sous-espace vectoriel d’un espace hermitien V . On dit qu’un vecteur
u ∈ V est orthogonal à W s’il est orthogonal à tous les vecteurs de W .
Le vecteur nul est toujours orthogonal à W . Si u et u
sont des vecteurs orthogonaux à
W , alors on a u·w = 0 = u
·w pour tout w ∈ W , donc aussi (λu)·w = 0 et (u+u
)·w = 0 :
les vecteurs λu et u + u
sont donc orthogonaux à W . Ainsi l’ensemble des vecteurs
de V qui sont orthogonaux à W est un sous-espace vectoriel de V .
Définition
Soit W un sous-espace vectoriel de V . Le sous-espace vectoriel de V formé des
vecteurs orthogonaux à W s’appelle l’orthogonal de W et se note W
⊥ .
Proposition. Les sous-espaces W et W
⊥ n’ont en commun que le vecteur nul.
En effet, si u est dans W
⊥ , il est orthogonal à tous les vecteurs de W ; si de plus
u ∈ W , alors u est en particulier orthogonal à u, donc u est le vecteur nul.
Attention : lorsque W n’est pas de dimension finie, W
⊥ peut être réduit au vecteur
nul (exercice 11).
Projection sur un sous-espace de dimension finie
Supposons que W est un sous-espace de dimension finie de V .
Il existe donc une base orthonormée e 1 , e 2 , . . . , e n de W . Soit u ∈ V et soit
u
= (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n . Le vecteur u
appartient à W , ses coordonnées dans la base e 1 , e 2 , . . . , e n sont les u · e i , donc u
· e i = u · e i d’après une
proposition page 205. Il s’ensuit (u − u
) · e i = 0 pour tout i, donc u − u
est orthogonal aux vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n . Comme tout vecteur de W est combinaison linéaire
de e 1 , e 2 , . . . , e n , le vecteur u − u
est orthogonal à W , autrement dit u − u
∈ W
⊥ .
208 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE
e n · e p =
0 si n = p
1 si n = p
Dans l’espace V , les vecteurs e n sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. En
particulier, pour tout entier k 1, les vecteurs e 0 , e 1 , . . . , e k sont indépendants, donc
l’espace vectoriel V n’est pas de dimension finie.
Le produit hermitien qu’on vient de définir joue un rôle important lorsqu’on veut
approcher un signal périodique par des fonctions trigonométriques (voir page 549).
1.4 Sous-espace orthogonaux et projections
Définition
Soit W un sous-espace vectoriel d’un espace hermitien V . On dit qu’un vecteur
u ∈ V est orthogonal à W s’il est orthogonal à tous les vecteurs de W .
Le vecteur nul est toujours orthogonal à W . Si u et u
sont des vecteurs orthogonaux à
W , alors on a u·w = 0 = u
·w pour tout w ∈ W , donc aussi (λu)·w = 0 et (u+u
)·w = 0 :
les vecteurs λu et u + u
sont donc orthogonaux à W . Ainsi l’ensemble des vecteurs
de V qui sont orthogonaux à W est un sous-espace vectoriel de V .
Définition
Soit W un sous-espace vectoriel de V . Le sous-espace vectoriel de V formé des
vecteurs orthogonaux à W s’appelle l’orthogonal de W et se note W
⊥ .
Proposition. Les sous-espaces W et W
⊥ n’ont en commun que le vecteur nul.
En effet, si u est dans W
⊥ , il est orthogonal à tous les vecteurs de W ; si de plus
u ∈ W , alors u est en particulier orthogonal à u, donc u est le vecteur nul.
Attention : lorsque W n’est pas de dimension finie, W
⊥ peut être réduit au vecteur
nul (exercice 11).
Projection sur un sous-espace de dimension finie
Supposons que W est un sous-espace de dimension finie de V .
Il existe donc une base orthonormée e 1 , e 2 , . . . , e n de W . Soit u ∈ V et soit
u
= (u · e 1 )e 1 + (u · e 2 )e 2 + · · · + (u · e n )e n . Le vecteur u
appartient à W , ses coordonnées dans la base e 1 , e 2 , . . . , e n sont les u · e i , donc u
· e i = u · e i d’après une
proposition page 205. Il s’ensuit (u − u
) · e i = 0 pour tout i, donc u − u
est orthogonal aux vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e n . Comme tout vecteur de W est combinaison linéaire
de e 1 , e 2 , . . . , e n , le vecteur u − u
est orthogonal à W , autrement dit u − u
∈ W
⊥ .
208 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE