Cet algorithme montre que : tout espace hermitien de dimension finie possède des bases
orthonormées.
1.3 Un exemple d'espace hermitien
Notons V l’ensemble des fonctions continues sur [0, T ] et à valeurs dans C. La
somme de deux fonctions continues est continue, ainsi que le produit d’une fonction
continue par un nombre, donc V est un C-espace vectoriel.
Définissons le produit hermitien des fonctions en posant
f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt , pour toutes fonctions f et g appartenant à V .
Vérifions que les propriétés du produit hermitien sont bien satisfaites.
Rappelons que pour intégrer une fonction à valeurs complexes, on intègre sa partie
réelle et sa partie imaginaire. Il s’ensuit que l’on a
T
0
f (t) dt =
T
0
f (t) dt.
® f ·g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt= 1
T
T
0
g(t)f (t) dt= 1
T
T
0
g(t)f (t) dt = g · f , d’où la symétrie
hermitienne.
® D’après la linéarité de l’intégrale, on a (λf ) · g = λ(f · g) et (f 1 + f 2 ) · g = f 1 · g + f 2 · g.
® f ·f = 1
T
T
0
f (t)f (t) dt= 1
T
T
0
|f (t)|
2 dt est un nombre réel positif ou nul. Comme la
fonction x → |f (x)|
2 est continue et positive ou nulle sur [0,T ], cette intégrale n’est
nulle que si |f (x)| = 0 pour tout x, c’est-à-dire si f est la fonction nulle (page 288).
La norme d’une fonction f ∈ V est f =
1
T
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2
et l’inégalité de
Cauchy-Schwarz s’écrit (en multipliant par T )
(∗)
T
0
f (t)g(t) dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
|g(t)|
2 dt
1/2
Une famille de vecteurs orthogonaux. Posons ω = 2π/T . Pour tout entier
n ∈ Z, définissons la fonction e n : R → C par la formule
e n (x) = e
n i ωx , pour tout x ∈ R.
Ces fonctions e n sont continues et comme on a n i ω(x + T ) = n i ωx + 2πn i, il vient
e n (x + T ) = e n (x) : les fonctions e n sont donc périodiques de période T .
Si n = 0, il s’ensuit
T
0
e
n i ωt dt = 1
n i ω
e
n i ωt
T
0
= 0. Puisque e 0 (x) = 1, il vient
T
0 e n (t) dt = 0 si n = 0 et 1
T
T
0 e 0 (t) dt = 1
Remarquons les formules e p (x) = e
−p i ωx = e −p (x) et e n (x)e p (x) = e
n i ωx e
p i ωx =
e n+p (x). On en déduit que pour tous entiers relatifs n et p, on a
T
0
e n (t)e p (t) dt =
T
0
e n (t)e −p (t) dt =
T
0
e n−p (t) dt
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 207
orthonormées.
1.3 Un exemple d'espace hermitien
Notons V l’ensemble des fonctions continues sur [0, T ] et à valeurs dans C. La
somme de deux fonctions continues est continue, ainsi que le produit d’une fonction
continue par un nombre, donc V est un C-espace vectoriel.
Définissons le produit hermitien des fonctions en posant
f · g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt , pour toutes fonctions f et g appartenant à V .
Vérifions que les propriétés du produit hermitien sont bien satisfaites.
Rappelons que pour intégrer une fonction à valeurs complexes, on intègre sa partie
réelle et sa partie imaginaire. Il s’ensuit que l’on a
T
0
f (t) dt =
T
0
f (t) dt.
® f ·g = 1
T
T
0
f (t)g(t) dt= 1
T
T
0
g(t)f (t) dt= 1
T
T
0
g(t)f (t) dt = g · f , d’où la symétrie
hermitienne.
® D’après la linéarité de l’intégrale, on a (λf ) · g = λ(f · g) et (f 1 + f 2 ) · g = f 1 · g + f 2 · g.
® f ·f = 1
T
T
0
f (t)f (t) dt= 1
T
T
0
|f (t)|
2 dt est un nombre réel positif ou nul. Comme la
fonction x → |f (x)|
2 est continue et positive ou nulle sur [0,T ], cette intégrale n’est
nulle que si |f (x)| = 0 pour tout x, c’est-à-dire si f est la fonction nulle (page 288).
La norme d’une fonction f ∈ V est f =
1
T
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2
et l’inégalité de
Cauchy-Schwarz s’écrit (en multipliant par T )
(∗)
T
0
f (t)g(t) dt
T
0
|f (t)|
2 dt
1/2 T
0
|g(t)|
2 dt
1/2
Une famille de vecteurs orthogonaux. Posons ω = 2π/T . Pour tout entier
n ∈ Z, définissons la fonction e n : R → C par la formule
e n (x) = e
n i ωx , pour tout x ∈ R.
Ces fonctions e n sont continues et comme on a n i ω(x + T ) = n i ωx + 2πn i, il vient
e n (x + T ) = e n (x) : les fonctions e n sont donc périodiques de période T .
Si n = 0, il s’ensuit
T
0
e
n i ωt dt = 1
n i ω
e
n i ωt
T
0
= 0. Puisque e 0 (x) = 1, il vient
T
0 e n (t) dt = 0 si n = 0 et 1
T
T
0 e 0 (t) dt = 1
Remarquons les formules e p (x) = e
−p i ωx = e −p (x) et e n (x)e p (x) = e
n i ωx e
p i ωx =
e n+p (x). On en déduit que pour tous entiers relatifs n et p, on a
T
0
e n (t)e p (t) dt =
T
0
e n (t)e −p (t) dt =
T
0
e n−p (t) dt
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 207