Hyperplans d'un espace euclidien de dimension finie.
h
V
H = h
⊥
Supposons que V
est un espace euclidien de dimension n.
® Si h est un vecteur non nul de V , l’ensemble des vecteurs de
V orthogonaux à h est un hyperplan de V , appelé hyperplan
orthogonal à h et noté h
⊥ .
® Pour tout hyperplan H de V , il existe un vecteur h = 0 tel
que H = h
⊥ .
® Soit B une base orthonormée de V . Un sous-espace H de V est un hyperplan si et
seulement s’il a dans B une équation de la forme a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0, où
les scalaires a i ne sont pas tous nuls. Dans ce cas, H est l’orthogonal du vecteur de
coordonnées (a 1 , a 2 , . . . , a n ).
Démonstration. Si h est un vecteur non nul de V , le sous-espace engendré par h est de
dimension 1, donc h
⊥ est de dimension n−1. Réciproquement, si H est un sous-espace de dimension n−1, alors H
⊥ est de dimension 1 : en choisissant un vecteur non nul h∈H
⊥ , on a donc
h
⊥ =
H
⊥
⊥ =H . Soient (a 1 ,a 2 ,. . .,a n ) les coordonnées de h dans la base B . Un vecteur x de coordonnées (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ) est orthogonal à h si et seulement si a 1 x 1 +a 2 x 2 +· · ·+a n x n =h·x=0.
Par le théorème de la projection, il est très simple de calculer le projeté d’un vecteur
sur un sous-espace W dont on connaît une base orthonormée. On peut cependant
avoir besoin d’exprimer le vecteur projeté au moyen d’une base quelconque de W .
Avant d’établir une telle formule, démontrons un résultat préliminaire.
Proposition. Soit A une matrice réelle à n lignes et p colonnes. Si p n et si les
colonnes de A sont indépendantes, alors la matrice (
t
A)A est carrée de taille p et inversible.
Démonstration. Supposons que X ∈ R
p est un vecteur-colonne tel que (
t
A A)X = 0. En
multipliant à gauche par la matrice-ligne
t
X , il vient 0 = (
t
X
t
A)(AX) =
t (AX)(AX) = AX
2 ,
où la norme est la norme euclidienne dans R
n . On a donc AX = 0. Puisque les colonnes de
A sont indépendantes, on en déduit X = 0. Cela montre que l’équation linéaire (
t
A A)X = 0
a pour seule solution X = 0 : la matrice carrée
t
A A est donc inversible.
Proposition. Soient u 1 , u 2 , . . . , u p des vecteurs indépendants appartenant à R
n et soit
W le sous-espace vectoriel de R
n engendré par u 1 , u 2 ,. . .,u p . Soit A la matrice ayant pour
colonnes les coordonnées de u 1 ,u 2 ,. . .,u p . Alors pour tout vecteur-colonne X ∈ R
n , le projeté
orthogonal de X sur W est p W (X) = y 1 u 1 + · · · + y p u p , où
⎡
⎣
y 1
. . .
y p
⎤
⎦ = (
t
A A)
−1 (
t
A)X .
® Cette formule donne les coordonnées du projeté orthogonal dans la base u 1 ,u 2 ,. . .,u p
de W .
210 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE
h
V
H = h
⊥
Supposons que V
est un espace euclidien de dimension n.
® Si h est un vecteur non nul de V , l’ensemble des vecteurs de
V orthogonaux à h est un hyperplan de V , appelé hyperplan
orthogonal à h et noté h
⊥ .
® Pour tout hyperplan H de V , il existe un vecteur h = 0 tel
que H = h
⊥ .
® Soit B une base orthonormée de V . Un sous-espace H de V est un hyperplan si et
seulement s’il a dans B une équation de la forme a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = 0, où
les scalaires a i ne sont pas tous nuls. Dans ce cas, H est l’orthogonal du vecteur de
coordonnées (a 1 , a 2 , . . . , a n ).
Démonstration. Si h est un vecteur non nul de V , le sous-espace engendré par h est de
dimension 1, donc h
⊥ est de dimension n−1. Réciproquement, si H est un sous-espace de dimension n−1, alors H
⊥ est de dimension 1 : en choisissant un vecteur non nul h∈H
⊥ , on a donc
h
⊥ =
H
⊥
⊥ =H . Soient (a 1 ,a 2 ,. . .,a n ) les coordonnées de h dans la base B . Un vecteur x de coordonnées (x 1 ,x 2 ,. . .,x n ) est orthogonal à h si et seulement si a 1 x 1 +a 2 x 2 +· · ·+a n x n =h·x=0.
Par le théorème de la projection, il est très simple de calculer le projeté d’un vecteur
sur un sous-espace W dont on connaît une base orthonormée. On peut cependant
avoir besoin d’exprimer le vecteur projeté au moyen d’une base quelconque de W .
Avant d’établir une telle formule, démontrons un résultat préliminaire.
Proposition. Soit A une matrice réelle à n lignes et p colonnes. Si p n et si les
colonnes de A sont indépendantes, alors la matrice (
t
A)A est carrée de taille p et inversible.
Démonstration. Supposons que X ∈ R
p est un vecteur-colonne tel que (
t
A A)X = 0. En
multipliant à gauche par la matrice-ligne
t
X , il vient 0 = (
t
X
t
A)(AX) =
t (AX)(AX) = AX
2 ,
où la norme est la norme euclidienne dans R
n . On a donc AX = 0. Puisque les colonnes de
A sont indépendantes, on en déduit X = 0. Cela montre que l’équation linéaire (
t
A A)X = 0
a pour seule solution X = 0 : la matrice carrée
t
A A est donc inversible.
Proposition. Soient u 1 , u 2 , . . . , u p des vecteurs indépendants appartenant à R
n et soit
W le sous-espace vectoriel de R
n engendré par u 1 , u 2 ,. . .,u p . Soit A la matrice ayant pour
colonnes les coordonnées de u 1 ,u 2 ,. . .,u p . Alors pour tout vecteur-colonne X ∈ R
n , le projeté
orthogonal de X sur W est p W (X) = y 1 u 1 + · · · + y p u p , où
⎡
⎣
y 1
. . .
y p
⎤
⎦ = (
t
A A)
−1 (
t
A)X .
® Cette formule donne les coordonnées du projeté orthogonal dans la base u 1 ,u 2 ,. . .,u p
de W .
210 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE