A
I
B
C
u
v
u+v =2
− →
AI
u − v
si A, B, C sont des points de l’espace euclidien usuel et si I
est le milieu de B, C , alors
AB
2 + AC
2 = 2AI
2 + (1/2)BC
2 .
En posant u =
− − →
AB et v =
− − →
AC , on a en effet u + v = 2
− →
AI ,
u − v =
− − →
CB, AB = u, AC = v et d’après (ii), il vient
(2AI)
2 + CB
2 = 2(AB
2 + AC
2 ).
® La formule (iii) généralise le théorème de Pythagore : en effet,
si le triangle ABC est rectangle en A, les vecteurs
− − − − − →
BA et
− − − − − →
AC sont orthogonaux
et puisque
− − − − − →
BA +
− − − − − →
AC =
− − − − − →
BC , l’égalité (iii) s’écrit BA
2 + AC
2 = BC
2 .
Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous vecteurs u,v de V , on a |u·v|uv.
Si u et v sont non nuls et si on a l’égalité, alors u et v sont colinéaires.
Démonstration. Si u · v = 0, l’inégalité est vraie. Supposons u · v = 0. Soit z le nombre
complexe tel que z(u · v) = |u · v| ; ce nombre z est donc de module 1 et vérifie (zu) · v = |u · v|.
Pour tout nombre réel t, on a
zu + tv
2 = zu
2 + 2 Re(zu · tv) + tv
2
= u
2 + 2t Re(zu · v) + t
2 v
2
car t est réel et zu = |z||u = u.
= u
2 + 2t|u · v| + t
2 v
2
par définition de z.
La fonction t → t
2
v
2 + 2t|u · v| + u
2 ne prend que des valeurs positives ou nulles, donc
le discriminant réduit |u · v|
2
− −u
2
v
2 est négatif ou nul, d’où l’inégalité |u · v| u v.
Considérons le vecteur w = v
2 u − (u · v)v. On a
w
2 = v
4 u
2 − 2 Re
v
2 u · (u · v)v
+ |u · v|
2 v
2
= v
4 u
2 − 2 Re
v
2 (u · v)(u · v)
+ |u · v|
2 v
2
= v
4 u
2 − 2v
2 |u · v|
2 + |u · v|
2 v
2 = v
2
u
2 v
2 − |u · v|
2
.
Supposons qu’on a l’égalité |u · v| = uv. Alors il vient w
2 = 0, donc w = 0 et les vecteurs
u et v sont colinéaires.
Propriétés de la norme. Pour tous vecteurs u et v appartenant à V et pour tout
scalaire λ ∈ K, on a
i) u 0 et l’équivalence (u = 0 ⇐⇒ u = 0)
ii) λu = |λ||u
iii) u + v u + v (inégalité triangulaire).
Démonstration. Nous avons déjà remarqué les propriétés (i) et (ii). Montrons l’inégalité (iii).
On a u + v
2 = u
2 + v
2 + 2Re(u · v). La partie réelle d’un nombre complexe est inférieure
ou égale au module, donc il vient
u + v
2 u
2 + v
2 + 2|u · v| u
2 + v
2 + 2u v
d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a ainsi u + v
2
(u + v)
2 , d’où le résultat.
La norme d’un vecteur u mesure l’écart entre u et le vecteur nul ; la norme du
vecteur u − v est une distance entre u et v.
204 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE
I
B
C
u
v
u+v =2
− →
AI
u − v
si A, B, C sont des points de l’espace euclidien usuel et si I
est le milieu de B, C , alors
AB
2 + AC
2 = 2AI
2 + (1/2)BC
2 .
En posant u =
− − →
AB et v =
− − →
AC , on a en effet u + v = 2
− →
AI ,
u − v =
− − →
CB, AB = u, AC = v et d’après (ii), il vient
(2AI)
2 + CB
2 = 2(AB
2 + AC
2 ).
® La formule (iii) généralise le théorème de Pythagore : en effet,
si le triangle ABC est rectangle en A, les vecteurs
− − − − − →
BA et
− − − − − →
AC sont orthogonaux
et puisque
− − − − − →
BA +
− − − − − →
AC =
− − − − − →
BC , l’égalité (iii) s’écrit BA
2 + AC
2 = BC
2 .
Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour tous vecteurs u,v de V , on a |u·v|uv.
Si u et v sont non nuls et si on a l’égalité, alors u et v sont colinéaires.
Démonstration. Si u · v = 0, l’inégalité est vraie. Supposons u · v = 0. Soit z le nombre
complexe tel que z(u · v) = |u · v| ; ce nombre z est donc de module 1 et vérifie (zu) · v = |u · v|.
Pour tout nombre réel t, on a
zu + tv
2 = zu
2 + 2 Re(zu · tv) + tv
2
= u
2 + 2t Re(zu · v) + t
2 v
2
car t est réel et zu = |z||u = u.
= u
2 + 2t|u · v| + t
2 v
2
par définition de z.
La fonction t → t
2
v
2 + 2t|u · v| + u
2 ne prend que des valeurs positives ou nulles, donc
le discriminant réduit |u · v|
2
− −u
2
v
2 est négatif ou nul, d’où l’inégalité |u · v| u v.
Considérons le vecteur w = v
2 u − (u · v)v. On a
w
2 = v
4 u
2 − 2 Re
v
2 u · (u · v)v
+ |u · v|
2 v
2
= v
4 u
2 − 2 Re
v
2 (u · v)(u · v)
+ |u · v|
2 v
2
= v
4 u
2 − 2v
2 |u · v|
2 + |u · v|
2 v
2 = v
2
u
2 v
2 − |u · v|
2
.
Supposons qu’on a l’égalité |u · v| = uv. Alors il vient w
2 = 0, donc w = 0 et les vecteurs
u et v sont colinéaires.
Propriétés de la norme. Pour tous vecteurs u et v appartenant à V et pour tout
scalaire λ ∈ K, on a
i) u 0 et l’équivalence (u = 0 ⇐⇒ u = 0)
ii) λu = |λ||u
iii) u + v u + v (inégalité triangulaire).
Démonstration. Nous avons déjà remarqué les propriétés (i) et (ii). Montrons l’inégalité (iii).
On a u + v
2 = u
2 + v
2 + 2Re(u · v). La partie réelle d’un nombre complexe est inférieure
ou égale au module, donc il vient
u + v
2 u
2 + v
2 + 2|u · v| u
2 + v
2 + 2u v
d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a ainsi u + v
2
(u + v)
2 , d’où le résultat.
La norme d’un vecteur u mesure l’écart entre u et le vecteur nul ; la norme du
vecteur u − v est une distance entre u et v.
204 – PRODUIT HERMITIEN ET PRODUIT SCALAIRE