® Les points M = (x, y) tels que
− − − − − − − →
OM = 1 sont ceux de l’ellipse d’équation
px
2 + ry
2 = 1, qu’on peut paramétrer en posant x = cos θ
√ p
et y = sin θ
√
r
, pour
0 θ < 2π. Les axes de l’ellipse sont les axes de coordonnées.
® Soient (a, b) et (a
, b
) des vecteurs non nuls. Si a et a
sont différents de 0, ces
vecteurs ont des pentes t = b/a et t
= b
/a
. La condition pour que (a, b) et (a
, b
)
soient orthogonaux est paa
+ rbb
= 0, ou encore tt
= −p/r. Si a = 0, la condition
d’orthogonalité est b
= 0 : tout vecteur de l’axe des abscisses est donc orthogonal
x
y
v
u
v
u
O
M
à tout vecteur de l’axe des ordonnées (les axes de coordonnées sont orthogonaux
à la fois pour le produit scalaire usuel et pour le produit scalaire pxx
+ qyy
).
La figure montre l’ellipse d’équation x
2 + 4y
2 = k
2 ,
où k = 0. Les vecteurs v et v
sont orthogonaux et de
norme k pour le produit scalaire X · X
= xx
+ 4yy
.
Si M est un point de l’ellipse, la direction orthogonale
à
− − − − − − − →
OM est celle de la tangente en M à l’ellipse.
1.1 Calculs dans un espace hermitien
Proposition. Soient u et v des vecteurs d’un espace hermitien V .
i) u + v
2 = u
2 + 2 Re(u · v) + v
2 .
ii) u + v
2 + u − v
2 = 2(u
2 + v
2 ) (formule de la médiane).
iii) Si u et v sont orthogonaux, alors u + v
2 = u
2 + v
2 (théorème de Pythagore).
iv) Pour tout scalaire λ, on a λu = |λ||u.
Démonstration. Pour montrer la première égalité, développons u + v
2 = (u + v) · (u + v)
en utilisant la définition du produit hermitien. Il vient
(u + v) · (u + v) = u · (u + v) + v · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v par linéarité
= u
2 + u · v + u · v + v
2
car v · u = u · v
= u
2 + 2 Re(u · v) + v
2 .
La seconde formule s’en déduit, car u · (−v) = −(u · v). Si u et v sont orthogonaux, alors
u · v = 0 et la troisième formule n’est autre que (i). Enfin, on a (λu) · (λu) = λλ(u · u), c’est-à-dire
λu
2 = |λ|
2
u
2 , d’où (iv) puisque norme et module sont des réels positifs ou nuls.
Remarque
Dans un espace euclidien, l’égalité (i) s’écrit simplement u+v
2 = u
2 +2u·v +v
2 ,
car le produit scalaire est un nombre réel.
Interprétation géométrique
® L’égalité (ii) s’appelle la formule de la médiane car elle possède une interprétation
simple en géométrie :
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 203
− − − − − − − →
OM = 1 sont ceux de l’ellipse d’équation
px
2 + ry
2 = 1, qu’on peut paramétrer en posant x = cos θ
√ p
et y = sin θ
√
r
, pour
0 θ < 2π. Les axes de l’ellipse sont les axes de coordonnées.
® Soient (a, b) et (a
, b
) des vecteurs non nuls. Si a et a
sont différents de 0, ces
vecteurs ont des pentes t = b/a et t
= b
/a
. La condition pour que (a, b) et (a
, b
)
soient orthogonaux est paa
+ rbb
= 0, ou encore tt
= −p/r. Si a = 0, la condition
d’orthogonalité est b
= 0 : tout vecteur de l’axe des abscisses est donc orthogonal
x
y
v
u
v
u
O
M
à tout vecteur de l’axe des ordonnées (les axes de coordonnées sont orthogonaux
à la fois pour le produit scalaire usuel et pour le produit scalaire pxx
+ qyy
).
La figure montre l’ellipse d’équation x
2 + 4y
2 = k
2 ,
où k = 0. Les vecteurs v et v
sont orthogonaux et de
norme k pour le produit scalaire X · X
= xx
+ 4yy
.
Si M est un point de l’ellipse, la direction orthogonale
à
− − − − − − − →
OM est celle de la tangente en M à l’ellipse.
1.1 Calculs dans un espace hermitien
Proposition. Soient u et v des vecteurs d’un espace hermitien V .
i) u + v
2 = u
2 + 2 Re(u · v) + v
2 .
ii) u + v
2 + u − v
2 = 2(u
2 + v
2 ) (formule de la médiane).
iii) Si u et v sont orthogonaux, alors u + v
2 = u
2 + v
2 (théorème de Pythagore).
iv) Pour tout scalaire λ, on a λu = |λ||u.
Démonstration. Pour montrer la première égalité, développons u + v
2 = (u + v) · (u + v)
en utilisant la définition du produit hermitien. Il vient
(u + v) · (u + v) = u · (u + v) + v · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v par linéarité
= u
2 + u · v + u · v + v
2
car v · u = u · v
= u
2 + 2 Re(u · v) + v
2 .
La seconde formule s’en déduit, car u · (−v) = −(u · v). Si u et v sont orthogonaux, alors
u · v = 0 et la troisième formule n’est autre que (i). Enfin, on a (λu) · (λu) = λλ(u · u), c’est-à-dire
λu
2 = |λ|
2
u
2 , d’où (iv) puisque norme et module sont des réels positifs ou nuls.
Remarque
Dans un espace euclidien, l’égalité (i) s’écrit simplement u+v
2 = u
2 +2u·v +v
2 ,
car le produit scalaire est un nombre réel.
Interprétation géométrique
® L’égalité (ii) s’appelle la formule de la médiane car elle possède une interprétation
simple en géométrie :
Chapitre 7 – ESPACE HERMITIEN, ESPACE EUCLIDIEN – 203